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Álgebra Superior II: Ecuaciones diofantinas

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y teoremas que nos sirven para trabajar con aritmética modular. Así mismo, aprendimos a resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales en congruencias en una variable.

Regresemos a \mathbb{Z}. Se usa el término ecuación diofantina para referirse a una ecuación en la cual las variables deben tomar soluciones enteras. Existe una gran variedad de formas que puede tomar una ecuación diofantina. «Resolver una ecuación diofantina» se refiere a encontrar, con demostración, una descripción del conjunto de todas sus soluciones en «términos sencillos».

Ejemplo 1. Encuentra todas las soluciones enteras x a la ecuación 13x=91.

Ejemplo 2. Encuentra todas las soluciones enteras x,y a la ecuación 7x+5y=3.

Los ejemplos 1 y 2 son ecuaciones diofantinas lineales en una y dos variables respectivamente. El objetivo de esta entrada es explicar cómo resolver estas ecuaciones. Continuamos la discusión de más ejemplos para abrir el panorama del tipo de problemas que aparecen en el área, y de las técnicas que se pueden usar.

Ejemplo 3. Encuentra todas las soluciones con enteros x,y,z a la ecuación x^2+y^2=z^2.

Al Ejemplo 3 se le conoce como la ecuación pitagórica. Esa es posible resolverla con todo lo que hemos visto hasta ahora, pero no es tan sencillo. Requiere de un análisis cuidadoso de casos.

Ejemplo 4. Encuentra todas las soluciones enteras positivas x,y a la igualdad x^y=y^x.

El Ejemplo 4 es curioso. Si consideramos a la función real f(x)=x^{\frac{1}{x}}, el problema pide encontrar a aquellas parejas de enteros x y y tales que f(x)=f(y). Una forma de resolver la ecuación es utilizando herramientas de cálculo diferencial en f(x) para mostrar que para x>5 la función ya es estrictamente creciente. Esto reduce el análisis de casos de enteros que tenemos que intentar, y muestra que (2,4), (4,2) y (n,n) son las únicas parejas de enteros válidas. La moraleja de este ejemplo es que a veces se tienen que usar herramientas de otras áreas de las matemáticas para resolver una ecuación, aunque esta sólo requiera de soluciones enteras.

Ejemplo 5. Encuentra todas las soluciones con enteros x,y,z a la ecuación x^3+y^3=z^3.

El Ejemplo 5, o bien cualquier ecuación del estilo x^n+y^n=z^n se le llama una ecuación de tipo Fermat, pues Pierre Fermat conjeturó que no existen soluciones para cuando n\geq 3 y x,y,z son todos distintos de cero. Esta conjetura fue demostrada en 1995 por Andrew Wiles. Una demostración de esta conjetura queda muy lejos de la teoría que hemos desarrollado hasta ahora, pero vale la pena decir que esta ecuación motivó fuertemente el desarrollo de varias herramientas de teoría de números, sobre unas llamadas curvas elípticas.

Ejemplo 6. Encuentra todas las soluciones enteras positivas x,y a la igualdad |2^x-3^y|=1.

El Ejemplo 6 se puede resolver también con herramientas que ya hemos visto en el curso, pero requiere de un análisis detallado. Este problema pide, en otras palabras, determinar cuándo «una potencia de 3 está junto a una potencia de 2«. Un ejemplo de esto son 2^3=8 y 3^2=9. Otra pregunta clásica del área es la conjetura de Catalán, la cual afirma que estas son las únicas dos potencias no triviales que son consecutivas. Fue demostrada en 2002 por Mihăilescu. Las técnicas también están muy lejos del alcance de este curso. Se usan técnicas en campos ciclotómicos y módulos de Galois.

En realidad, uno podría tomar cualquier ecuación en reales y hacerse la pregunta de si existirán soluciones en enteros y, de ser así, determinar cuántas o cuáles son. Ha existido (y existe) mucha investigación en el área. El interés de una ecuación diofantina en particular está relacionado con su aplicación a otros problemas y con la teoría que ayuda a desarrollar.

Ecuaciones diofantinas lineales

La ecuación diofantina del Ejemplo 1 se puede preguntar en general. Dados enteros a y b, ¿cuáles son las soluciones enteras x a la ecuación ax=b?

  • Si a=0, la ecuación tiene solución si y sólo si b=0, y en este caso, cualquier valor entero de x es solución.
  • Si a\neq 0, esta ecuación tiene solución en enteros si y sólo si a divide a b, y en este caso x=b/a es la única solución entera.

Estudiemos ahora la generalización del Ejemplo 2.

Problema. Sean a y b enteros distintos de 0 y c un entero. Determina todas las soluciones enteras a la ecuación

    \[ax+by=c.\]

Primero, determinemos condiciones necesarias y suficientes en a, b y c para que la ecuación tenga soluciones enteras x y y. Lo que nos está pidiendo la ecuación es que escribamos a c como combinación lineal entera de a y b. Recordemos que

    \[a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} = \text{MCD}(a,b) \mathbb{Z},\]

de modo que la ecuación tiene solución si y sólo si \text{MCD}(a,b) divide a c. ¿Cuáles son todas las soluciones? Esto lo determinaremos mediante las siguientes proposiciones.

Proposición. Sean a y b enteros distintos de 0 y c un entero divisible entre M:=\text{MCD}(a,b). Sean a'=a/M, b'=b/M, c'=c/M. Las soluciones enteras a la ecuación ax+by=c son las mismas que para la ecuación a'x+b'y=c'

Demostración. Se sigue de manera directa usando que M\neq 0, ya que de la original podemos pasar a la nueva dividiendo entre M, y de la nueva a la anterior multiplicando por M.

\square

Ejemplo. x=2 y y=7 son soluciones a la ecuación 6x-4y=-16, y también son soluciones a la ecuación 3x-2y=-8.

\square

Al dividir ambos lados de la ecuación entre el máximo común divisor de a y b obtenemos una ecuación en la que los coeficientes de las variables ahora son primos relativos. Este fenómeno ya lo habíamos visto cuando hablamos de ecuaciones en congruencias. Estudiemos este tipo de ecuaciones en enteros. Comenzaremos con unas un poco más sencillas: aquellas en las que c=0. A estas les llamamos ecuaciones homogéneas.

Proposición. Sean a y b enteros distintos de 0 y primos relativos. Las soluciones de la ecuación diofantina ax+by=0 son exactamente de la forma x=-kb, y=ka para k en los enteros.

Demostración. De la ecuación obtenemos -ax=by, por lo que a divide a by. Como a y b son primos relativos, tenemos que a divide a y. Así, existe un k entero tal que y=ka. Entonces, -ax=bka. Como a\neq 0, podemos cancelar y despejar x=-kb.

En efecto, todas estas parejas son soluciones pues a(-kb)+b(ka)=0.

\square

Ejemplo. Determina todas las soluciones a la ecuación diofantina 9x+5y=0.

Solución. Tenemos que 9 y 5 son primos relativos y que la ecuación es homogénea. Por el resultado anterior, las soluciones son de la forma x=-5k y y=9k.

\square

Ejemplo. Determina todas las soluciones a la ecuación diofrantina 9x-6y=0.

Solución. Aquí hay que tener cuidado. Si bien la ecuación es homogénea, los coeficientes de las variables no son primos relativos. Si sólo consideramos las soluciones de la forma x=6k y y=9k, en efecto todas estas son soluciones, pero nos faltará la solución x=2, y=3 que no es de esta forma.

Antes de poder usar la proposición, necesitamos dividir entre el máximo común divisor de 9 y 6, que es 3, para obtener primero la ecuación diofantina equivalente 3x-2y=0. Ahora sí, todas las soluciones enteras de esta ecuación (y por lo tanto de la original) son de la forma x=2k y y=3k.

\square

Pasemos ahora al caso en el que los coeficientes de las variables son primos relativos, pero la ecuación ya no es homogénea.

Proposición. Sean a y b enteros distintos de 0 y primos relativos. Sea c un entero divisible entre \text{MCD}(a,b). Se puede obtener una solución x_0, y_0 a la ecuación diofantina ax+by=c usando el algoritmo de Euclides. El resto de las soluciones son exactamente de la forma x=x_0-kb, y=y_0+ka en donde k es cualquier entero positivo.

Demostración. Notemos que en efecto las soluciones propuestas satisfacen la ecuación diofantina pues

    \begin{align*}ax+by&=a(x_0-kb)+b(y_0+ka)\\&=ax_0+by_0 + (-kab+kab)\\&=ax_0+by_0\\&=c.\end{align*}

Aquí usamos que x_0,y_0 es una solución de ax+by=c. Veamos que estas soluciones son las únicas.

Si x_1,y_1 es una solución, entonces tenemos

    \[ax_1+by_1=c=ax_0+by_0,\]

y entonces

    \[a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)=c-c=0,\]

de modo que (x_1-x_0), (y_1-y_0) es una solución de la ecuación homogénea ax+by=0, y por la proposición anterior, debe suceder que x_1-x_0=-ka y y_1-y_0=kb con k un entero. Así, x_1=x_0-ka y y_1=y_0+kb, como queríamos.

\square

Ejemplo. Determina todas las soluciones a la ecuación diofantina 12x+13y=1.

Solución. Por inspección, una solución es x=-1, y=1. Los coeficientes de las variables son primos relativos. Por la proposición anterior, todas las soluciones son de la forma -13k-1, 12k+1 donde k es un entero arbitrario.

\square

Resumimos todo lo obtenido en el siguiente resultado.

Teorema. Sean a y b enteros distintos de 0 y c un entero. Consideremos la ecuación diofantina ax+by=c. Si M:=\text{MCD}(a,b) no divide a c, entonces la ecuación no tiene solución. Si sí, podemos usar el algoritmo de Euclides para encontrar una solución x_0,y_0. El resto de las soluciones son de la forma x_0-ka', y_0+kb', en donde a'=a/M, b'=b/M y k es cualquier entero.

Veamos un ejemplo en el que juntamos todo lo que ya sabemos.

Ejemplo. Determina todas las soluciones a la ecuación diofantina 21x-35y=14.

Solución. Los coeficientes de las variables no son primos relativos, pues su máximo común divisor es 7. Tenemos que 7 divide a 14, así que la ecuación sí tiene soluciones y son las mismas que las de la ecuación 3x-5y=2. Por inspección, una solución es x=-1, y=-1. Así, todas las soluciones a esta ecuación (y por lo tanto a la original), son de la forma x=5k-1, y=3k-1.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el Ejemplo 2
  • En todos los ejemplos, verifica que las soluciones obtenidas en efecto son soluciones del sistema original.
  • ¿Para cuántos enteros c entre 1 y 100 se tiene que la ecuación lineal 21x+18y=c tiene solución x,y en enteros?
  • Sólo hemos visto ecuaciones diofantinas lineales en dos variables. Sin embargo, con lo visto hasta ahora puedes argumentar por qué la ecuación diofantina 91x+14y-70z=100 no tiene soluciones en enteros. ¿Por qué?
  • Investiga acerca de la ecuación pitagórica x^2+y^2=z^2.

Seminario de Resolución de Problemas: Primos y factorización única

Introducción

En entradas anteriores hablamos de divisibilidad y de aritmética modular. Ahora platicaremos de las bloques que nos ayudan a construir a todos los enteros de manera multiplicativa: los números primos. Lo que dice el teorema fundamental de la aritmética es que todo número es producto de primos «de manera única». Tanto la teoría de números primos, como este teorema, son de gran ayuda en la resolución de problemas

Como en entradas anteriores, el enfoque no es demostrar los resultados principales de la teoría. Esto se hace en un curso de Álgebra Superior II o en uno de Teoría de Números. La idea de la entrada es ver aplicaciones de estos resultados en situaciones concretas.

Números primos

Un entero es primo si tiene exactamente dos divisores positivos. El 1 no es primo pues su único divisor es él mismo. Pero 2, 17 y 31 sí son primos. De aquí y el algoritmo de la división, si p es primo y a es un entero, entonces p\mid a o \MCD{p,a}=1.

Proposición 1. Si p es un número primo que divide al producto de enteros ab, entonces p\mid a ó p\mid b.

Demostración. Si p no divide a a, entonces \MDC(p,a)=1, así que existe una combinación lineal entera pn+am=1. Multiplicando esta combinación por b, tenemos que pbn+abm=b. Como p divide a pbn y a ab, entonces divide a b.

\square

Problema. Muestra que si p es un primo que divide a 123456^{654321}, entonces p divide a 123456.

Sugerencia pre-solución. Aquí 123456 y 654321 no tienen nada de especial. Generaliza el problema y procede por inducción en el exponente.

Solución. Sea a un entero, n un entero positivo y p un primo. Vamos a mostrar por inducción en n que si p\mid a^n, entonces p\mid a. Para n=1 la conclusión es inmediata. Supongamos el resultado cierto para n. Si p\mid a^{n+1}, por la Proposición 1 tenemos que p\mid a (en cuyo caso terminamos), o que p\mid a^n (en cuyo caso terminamos por hipótesis inductiva). El problema se resuelve tomando a=123456 y n=6543321.

\square

Extendiendo la idea del problema anterior, se puede demostrar la siguiente proposición.

Proposición 2. Si p es primo, a un entero y n un entero positivo tales que p\mid a^n, entonces p^n\mid a^n.

Teorema fundamental de la aritmética

Todo número es producto de primos de manera única. Más específicamente

Teorema (teorema fundamental de la aritmética). Sean a un entero positivo. Entonces existe un único n, únicos primos p_1<\ldots<p_n y exponentes \alpha_1,\ldots,\alpha_n tales que

    \[a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}.\]

La idea de la demostración es factorizar y factorizar. Si n está expresado como producto de primos, ya está. Si no, hay uno de sus factores que no es primo y entonces se puede factorizar en dos números menores. Para probar la unicidad se usa la Proposición 1.

Veamos algunas aplicaciones del teorema fundamental de la aritmética.

Problema. Muestra que \sqrt[3]{7} es un número irracional.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción suponiendo que es racional para igualarlo a una fracción y eleva al cubo.

Solución. Si no fuera irracional, lo podríamos expresar como una fracción, digamos \sqrt[3]{7}=\frac{a}{b} con a y b enteros. De aquí, 7b^3=a^3. En la factorización en primos de a^3 y b^3 tenemos una cantidad múltiplo de 3 de factores 7. Así, en el lado derecho tenemos una cantidad mútiplo de 3 de factores 7 (por la Proposición 2), pero en el lado izquierdo no. Esto es una contradicción a la unicidad de la factorización en primos.

\square

Es posible que en un problema tengamos que usar el teorema fundamental de la aritmética repetidas veces.

Problema. Determina todos los enteros positivos n para los cuales 2^8+2^{11}+2^n es un número entero al cuadrado.

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás y usa notación adecuada. Intenta encontrar una diferencia de cuadrados.

Solución. Vamos a comenzar suponiendo m^2=2^8+2^{11}+2^n. De aquí,

    \begin{align*}2^n&=m^2-2^8(1+2^3)\\&=m^2-(3\cdot 2^4)^2\\& =(m+48)(m-48).\end{align*}

Por la unicidad del teorema fundamental de la aritmética, cada uno de los números m+48 y m-48 tienen que ser potencias de 2, digamos m+48=2^a y m-48=2^b con a>b y a+b=n. Además tenemos que

    \[2^b(2^{a-b}-1)=96=2^5\cdot 3.\]

Como 2^{a-b}-1 es impar, de nuevo por la unicidad de la factorización en primos debemos tener que 2^{a-b}-1=3, y por lo tanto que 2^b=2^5. De aquí, b=5 y a-b=2, y así a=7. Por lo tanto, el único candidato es n=5+7=12.

Ya que trabajamos hacia atrás, hay que argumentar o bien que los pasos que hicimos son reversibles, o bien que n en efecto es solución. Hacemos esto último notando que 2^8+2^{11}+2^{12}=2^8(1+2^3+2^4)=2^8\cdot 5^2 que en efecto es un número cuadrado.

\square

Fórmulas que usan el teorema fundamental de la aritmética

Sean a y b números enteros positivos y P={p_1,\ldots,p_n} el conjunto de números primos que dividen a alguno de a o b. Por el teorema fundamental de la aritmética, existen exponentes \alpha_1,\ldots,\alpha_n y \beta_1,\ldots,\beta_n, tal vez algunos de ellos cero, tales que

    \begin{align*}a&=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_n^{\alpha_n}\\ b&=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot p_n^{\beta_n}. \end{align*}

Por ejemplo, si a=21, b=28, entonces P={2,3,7}, a=2^0 3^1 7^1 y b=2^2 3^0 7^1.

Proposición 3. Se tiene que a divide a b si y sólo si para todo primo p_i se tiene que \alpha_i\leq \beta_i.

Problema. ¿Cuántos múltiplos de 108 hay que sean divisores de 648?

Sugerencia pre-solución. Factoriza en primos a 108 y a 648 y usa la Proposición 3.

Solución. Tenemos que 108=2^23^3 y que 648=2^3\cdot 3^4. Por la Proposición 3, un número que funcione debe ser de la forma 2^a3^b con 2\leq a \leq 3 y con 3\leq b \leq 4. Así, a tiene 2 posibilidades y b también, de modo que hay 2\cdot 2=4 números que cumplen.

\square

Una consecuencia inmediata de la Proposición 3 anterior es la fórmula para el número de divisores de un entero en términos de los exponentes de su factorización en primos.

Proposición 4. El entero a tiene (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_n+1) divisores positivos.

Problema. Determina cuántos enteros hay entre 1 y 10000 que tienen 49 divisores positivos.

Sugerencia pre-solución. Usa la fórmula de la Proposición 4 para trabajar hacia atrás y ver qué forma debe tener un entero que cumple lo que se quiere. Divide en casos para que el producto se 49.

Solución. Tomemos a un entero y p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n} su factorización en primos. Por la Proposición 4, necesitamos que (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_n+1)=49.

A la izquierda tenemos puros números mayores o iguales que 2. El número 49 tiene como únicos divisores a 1, 7 y 49. De esta forma, sólo hay dos casos posibles:

  • El número a tiene sólo un divisor primo y a=p_1^{48}
  • El número a tiene dos divisores primos y a=p_1^6p_2^6

El primer caso es imposible, pues p_1 sería por lo menos 2 y 2^{48}>2^{20}=(1024)^2>(1000)^2>10000. Para el segundo caso, recordemos que p_2>p_1 en la factorización en primos. Si p_2\geq 5, entonces como p_1\geq 2, tendríamos a\geq (2\cdot 5)^6 = 1000000>10000, así que esto no es posible.

La única otra posibilidad es p_2=3 y por lo tanto p_1=2. En este caso obtenemos al número a=(2\cdot 3)^6=6^6=46656, que sí cae en el intervalo deseado. Así, sólo hay un número como el que se pide.

\square

La factorización en primos también sirve para encontrar máximos comunes divisores y mínimos comunes múltiplos.

Proposición 4.  Se pueden calcular \MCD{a,b} y \mcm{a,b} como sigue:

    \begin{align*}\text{MCD}(a,b)&=p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2,\beta_2)}\cdot\ldots\cdot p_n^{\min(\alpha_n,\beta_n)}\\\text{mcm}(a,b)&=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)}\cdot\ldots\cdot p_n^{\max(\alpha_n,\beta_n)}.\end{align*}

Volvamos a ver un problema que ya habíamos resuelto con anterioridad.

Problema. Demuestra que \MCD{a,b}\mcm{a,b}=ab.

Sugerencia pre-solución. Usa la Proposición 4. Puedes argumentar algunos pasos por simetría.

Solución. Expresemos a a y b en su factorización en primos como lo discutimos arriba. Al multiplicar \MCD{a,b} y \mcm{a,b}, el exponente de p_i es \min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i)=\alpha_i\beta_i. Este es el mismo exponente de p_i en ab. Así, ambos números tienen la misma factorización en primos y por lo tanto son iguales.

\square

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Si p es primo, entonces todo entero n que no sea múltiplo de p tiene inverso módulo n. Esto se usa en los teoremas de Fermat y Wilson. También hay una entrada con ejercicios de estos teoremas resueltos en video.

Seminario de Resolución de Problemas: Máximo común divisor

Con esta entrada comenzamos a tratar los temas de números enteros y su aritmética. Varios de los temas que se ven aquí se estudian a profundidad en un curso de Álgebra Superior, así que varios de los resultados los enunciaremos sin demostración. Lo que nos interesa es cómo se pueden utilizar los resultados principales de la teoría de números enteros para la resolución de problemas matemáticos.

Divisibilidad y máximo común divisor

Trabajaremos todo el tiempo con números enteros, a menos que digamos lo contrario.

Decimos que a divide a b si b es un mútiplo de a, es decir, si existe un r tal que b=ra. Lo escribimos en símbolos como a\mid b. También decimos que a es divisor de b.

Proposición 1. La relación de divisibilidad es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica. Si a\mid b y b\mid a, entonces |a|=|b|, es decir a=b o a=-b.

Si tenemos varios números a_1,\ldots,a_n, el máximo común divisor es el mayor número que divide a todos. El mínimo común múltiplo es el menor entero positivo que es múltiplo de todos. Los denotamos respectivamente por \MCD{a_1,\ldots,a_n} y \mcm{a_1,\ldots,a_n}.

Proposición 2. Si n divide a a y a b, entonces divide a cualquier combinación lineal entera ra+sb de ellos. En particular, si n divide a dos términos de la igualdad a+b=c, entonces divide al tercero.

Notemos que a+(b-a)=b. Por la Proposición 2, un divisor de a y b será divisor de b-a, y uno de b-a y de a será divisor de b. De aquí sale que \MCD{a,b}=\MCD{a,b-a}

Problema. Determina todas las funciones f:\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ tales que cumplen las siguientes tres propiedades simultáneamente:

  1. f(a,a)=a para todo entero positivo a.
  2. f(a,b)=f(b,a) para todo par de enteros positivos a y b.
  3. f(a,b)=f(a,a+b) para todo par de enteros positivos a y b.

Sugerencia pre-solución. Haz casos particulares que puedas obtener a partir de esas propiedades para conjeturar el valor de f(a,b) para todos a y b enteros positivos. Intenta probar tu conjetura por inducción fuerte.

Solución. Vamos a mostrar que f(a,b)=\MCD{a,b} para todo par de enteros positivos a y b. Vamos a probarlo por inducción sobre la suma a+b. Como a y b son enteros positivos, la menor suma que pueden tener es 2 y en este caso a+b=2 implica a=b=1. Por la hipótesis 1, tenemos f(1,1)=1, que coincide con \MCD{1,1}.

Supongamos que el resultado es cierto cuando a+b=k para todo entero k=1,\ldots,n y tomemos a y b enteros de suma n+1. Si a=b, entonces

    \[f(a,b)=f(a,a)=a=\MCD{a,a}=\MCD{a,b},\]

como queremos. Si a\neq b, por la simetría que nos da la hipótesis 2 podemos suponer b>a. Por la hipótesis 3,

    \[f(a,b)=f(a,a+(b-a))=f(a,b-a).\]

En la expresión de la derecha, tenemos que sus entradas suman a+(b-a)=b<a+b=n+1, de modo que podemos aplicar la hipótesis inductiva para obtener que f(a,b-a)=\MCD{a,b-a}. Por la discusión antes de este problema, \MCD{a,b-a}=\MCD{a,b}. Así, concluimos que f(a,b)=\MCD{a,b}, como queríamos.

\square

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un número son especiales. No sólo son el divisor más grande y el múltiplo más chico, sino que además si hay otro divisor de todos los números (o múltiplo de todos los números), además se cumplen ciertas divisibilidades.

Proposición 3. Si tenemos otro número d que sea divisor de a_1,\ldots,a_n, entonces

    \[d\mid \MCD{a_1,\ldots,a_n}.\]

Si tenemos otro número M que sea múltiplo de a_1,\ldots,a_n, entonces

    \[\mcm{a_1,\ldots,a_n}\mid M.\]

Problema. Sean a y b enteros positivos. Muestra que

    \[\MCD{a,b}\mcm{a,b}=ab.\]

Sugerencia pre-solución: Intenta resolver el problema antes de ver la solución. Para ello, necesitarás la Proposición 1 y la Proposición 3.

Solución. Para simplificar la notación, tomamos D=\MCD{a,b} y m=\mcm{a,b}.

Como D divide a a y b, existen enteros r y s tales que a=rD y b=sD. Notemos que rsD=as=br, así que rsD es un múltiplo de a y b, y por la Proposición 3, tenemos que m\mid rsD. Multiplicando por D esta divisibilidad, tenemos que Dm\mid rsD^2=ab.

Como ab es múltiplo de a y de b, por la Proposición 3 es múltiplo de m, digamos ab=km. Notemos que de aquí, tenemos a=k(m/b) con m/b entero y b=k(m/a) con m/a entero, de modo que k divide a a y a b. Como D es máximo común divisor, por la Proposición 3 tenemos que k\mid D. Multiplicando por m esta divisibilidad, tenemos que km\mid DM, es decir, ab\mid Dm.

Con esto logramos conseguir que ab\mid Dm y Dm\mid ab. Por la Proposición 1, tenemos que |ab|=|Dm|, pero como a, b, D, m son positivos, entonces ab=Dm.

\square

Algoritmo de la división y algoritmo de Euclides

Tomemos a y b enteros. Si intentamos expresar a a como múltiplo de b, puede que no lo logremos. Pero podemos acercarnos lo más posible y dejar un residuo «pequeño». Esto es lo que dice el algoritmo de la división.

Teorema 1 (Algoritmo de la división). Para enteros a y b\neq 0, existen únicos enteros q y r tales que 0\leq r < |b| y a=bq+r.

Consideremos la igualdad a=bq+r en el algoritmo de la división y apliquemos la Proposición 2. Si d divide a a y b, entonces divide a r. Si d divide a r y a b, entonces divide a a. Así, \MCD{a,b}=\MCD{b,r}, en donde b y r ahora son números más chicos que a y b. De este modo, podemos hacer varias veces el algoritmo de la división para obtener igualdades

    \begin{align*}a&=bq_1+r_1\\b&=r_1 q_2 + r_2\\r_1&= r_2q_3 + r_3\\&\vdots\\r_{n-2}&= r_{n-1}q_n + r_n\\r_{n-1}&= r_nq_{n+1} + 0\\ \end{align*}

de las que obtenemos

    \[\MCD{a,b}=\MCD{b,r_1}=\ldots=\MCD{r_n,0}=r_n.\]


En las igualdades llegamos a un residuo 0 pues b>r_1>r_2>r_3>\ldots\geq 0 es una sucesión estrictamente decreciente de enteros no negativos.

En particular, obtenemos

    \[\MCD{a,b}=r_n.\]

A esto se le conoce como el algoritmo de Euclides, que enunciamos en otras palabras a continuación.

Teorema 2 (Algoritmo de Euclides). Podemos obtener el máximo común divisor de a y b aplicando el algoritmo de la división a a y b, a b y el residuo obtenido y luego repetidamente a los residuos que se van obteniendo. El último residuo no cero es \MCD{a,b}.

Hay todavía una conclusión adicional muy importante que podemos obtener a partir del algoritmo de Euclides.

Problema. Sean a\geq b enteros. Sean q_i y los r_i los números obtenidos en el algoritmo de Euclides. Definimos recursivamente una sucesión de n+1 vectores en \mathbb{R}^3 como sigue:

    \begin{align*}v_1&=(a,1,0)\\v_2&=(b,0,2)\\v_{i+2}&=v_{i}-q_iv_{i+1}\quad \text{para $i=1,\ldots,n-1$}\end{align*}

Sean r_{-1}=a y r_{0}=b. Muestra que para i=1,2,3,\ldots,n+1 se tiene que v_i=(x_i,y_i,z_i), en donde:

  • x_i=r_{i-2}
  • x_i=ay_i+bz_i

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver el problema haciendo inducción sobre el índice. Los casos i=1,2 son inmediatos.

Solución. Procedemos por inducción fuerte en el subíndice i. Para i=1,2, el resultado es cierto pues x_1=a=r_{-1}, x_2=b=r_0, a=1\cdot a + 0 \cdot b y b=0 \cdot a + 1\cdot b. Supongamos el resultado cierto para los índices 1,2,\ldots, k para algún 2\leq k\leq n. Tomemos el índice k+1.

Estudiemos primero la entrada x_{k+1}. Por definición de la recursión e hipótesis inductiva

    \begin{align*}x_{k+1}&=x_{k-1}-q_{k-1}x_{k}\\&=r_{k-3}-q_{k-1}r_{k-2}\\&=r_{k-1},\end{align*}

que es lo que queríamos mostrar para la entrada x_{k+1}. Para la segunda parte, de nuevo usando la recursión e hipótesis inductiva, tenemos que

    \begin{align*}x_{k+1}&=x_{k-1}-q_{k-1}x_{k}\\&=ay_{k-1}+bz_{k-1} - q_{k-1} (ay_{k}+bz_{k})\\&=a(y_{k-1}-q_{k-1}y_k) + b(z_{k-1}-q_{k-1}z_k)\\&=ay_{k+1}+bz_{k+1}.\end{align*}

Con esto terminamos la inducción.

\square

El problema anterior nos dice que, en particular, r_n=ay_n+bx_n. Esta conclusión es muy importante y la enunciamos como teorema.

Teorema 3. El máximo común divisor de enteros a y b se puede escribir como combinación lineal entera de a y b, es decir, existen enteros m y n tales que \MCD{a,b}=am+bn.

Veamos un ejemplo concreto de cómo podemos usar el problema para encontrar la combinación lineal que da el máximo común.

Problema. Expresa al máximo común divisor de 754 y 221 como combinación lineal entera de estos números.

Solución. Hacemos la siguiente tabla, en donde ponemos a los vectores del problema como vectores columna (en los renglones 2,3,4). En el primer rengón vamos apuntando las q_i.

3223
7542219139130
101-25-17
01-37-1758

Explicamos un poco más de donde sale la tabla. Las primeras dos columnas son los vectores v_1 y v_2 del problema, que son (754,1,0) y (221,0,1). Para la tercer columna, nos preguntamos ¿cuántas veces cabe 221 en 754? La respuesta es 3, así que ponemos un 3 arriba (para acordarnos) y hacemos la resta de la primera columna menos tres veces la segunda. Eso va en la tercer columna.

Para la cuarta columna, nos preguntamos ¿cuántas veces cabe 91 en 221? La respuesta es 2, así que lo apuntamos arriba, y la cuarta columna es la segunda, menos dos veces la tercera. Continuamos así hasta que obtengamos un 0. La columna anterior nos dice que 13 es el máximo común divisor, y que la combinación lineal es

    \[13=754\cdot 5 + 221 \cdot 58\]

.

\square

Aquí hay otros dos problemas con aplicaciones de las ideas que vimos en esta entrada.

Problema. Muestra que para todo entero n se tiene que la fracción \frac{41-6n}{9n-61} es irreducible para todo entero.

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver el problema. Lo que quieres mostrar es que 41-6n y 9n-61 nunca tienen divisores en común.

Solución. Notemos que 41-6n y 9n-61 tienen una combinación lineal que da 1. En efecto,

    \[3\cdot (41-6n) + 2\cdot (9n-61) = 123-18n+18n-122=1.\]

Cualquier entero d que divida a 41-6n y a 9n-61 tiene entonces que dividir a 1, lo cual muestra que \MCD{41-6n,9n-61}=1, y por lo tanto la fracción siempre es irreducible.

\square

Problema. Se tiene un número irracional \alpha para el cual \alpha^{91} y \alpha^{119} son números racionales. Muestra que \alpha^{14} es un número racional.

Sugerencia pre-solución. Encuentra el máximo común divisor de 91 y 119. Recuerda que las potencias de racionales son racionales, y productos de racionales también.

Solución. Como 91=7\cdot 13 y 119=7\cdot 13, tenemos que \MCD{91,119}=7. De esta forma, existen enteros m y n tales que 7=91m+119n, de donde 14=91 \cdot (2m)+119 \cdot(2n).

Sabemos que \alpha^{91} es racional, así que (\alpha^{91})^{2m} también. Análogamente, (\alpha^{119})^{2n} es racional. De esta forma, el número

    \[\alpha^{14}=(\alpha^{91})^{2m}\cdot (\alpha^{119})^{2n}\]

también lo es.

\square

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

El Teorema 3 es fundamental para cuando se quieren determinar inversos multiplicativos trabajando módulo n.

Álgebra Superior II: Ejercicios de los teoremas de Fermat y de Wilson

Primero, un ejercicio más de congruencias:

Un ejercicio de congruencias

Un ejercicio utilizando el teorema de Fermat:

Ejercicio utilizando el teorema de Fermat

Ejercicio sencillo utilizando el Teorema de Wilson:

17!=1 (mod 19)

Otro ejercicio utilizando el Teorema de Wilson:

Si p primo, (p-1)! = -1 (mod p)

Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética modular

Introducción

En la entrada anterior hablamos de divisibilidad, máximo común divisor y combinaciones lineales enteras. Cuando hablamos de trabajar en artimética modular nos referimos a que tomamos un entero n y realizamos todas las operaciones «sólo en el mundo de n«, es decir, aplicando las operaciones únicamente en los residuos que deja un número al ser dividido entre n.

Cuando estamos trabajando módulo n, dos enteros a y b «son los mismos» si n divide a a-b. En este caso decimos que a\equiv b \pmod n, que se lee «a es congruente con b módulo n«.

En esta entrada de blog discutimos la relación «ser congruente con» y cómo se puede enunciar en términos de anillos. Ahí damos las demostraciones de varias de las propiedades que no probaremos aquí. Es recomendable por lo menos echarle un ojo.

Aritmética modular

Para recordar los principios básicos de la aritmética modular, comencemos con el siguiente problema.

Problema. Determina cuál es el residuo obtenido de dividir 1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 al dividirse entre 11.

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver este problema trabajando módulo 11.

Solución. Tenemos que 1305, 1302, 1314 y 1311 los podemos poner como un múltiplo de 13 más un residuo como sigue: 1300+5, 1300+2 y 1313+1, 1300+11. Así, 1305\equiv 5\pmod {13}, 1302\equiv 2 \pmod {13}, 1314\equiv 1 \pmod {13} y 1311\equiv 11 \pmod {13}. Así, trabajando módulo 1 tenemos que:

    \begin{align*}1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 &\equiv 5\cdot 2 + 1\cdot 11 \\&\equiv 10 + 11 \equiv 21 \\&\equiv 8 \pmod {13}\end{align*}


De esta forma, 1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 deja residuo 8 al dividirse entre 13.

\square

Utilizando el algoritmo de la división, que vimos en la entrada anterior, se puede probar el siguiente resultado.

Proposición. Para cada entero a y entero positivo n, existe un único número r en \{0,1,\ldots,n-1\} tal que a\equiv r\pmod n, que es justo el residuo obtenido al dividir a entre n.

Dicho en otras palabras, sólo hay n posibles residuos al dividir entre n. Esto nos permite que las operaciones módulo n siempre las hagamos con números chiquitos, y que afirmaciones sencillas de divisibilidad entre n dependen sólo de n casos. Esto lo podemos aprovechar para resolver problemas como el siguiente.

Problema. Se tienen 13 números enteros. Muestra que hay tres de ellos a,b,c que satisfacen que

    \[1331\mid (a-b)(b-c)(c-a).\]

Sugerencia pre-solución. Notemos que 1331=11^3, así que trabajamos módulo 11. Encuentra todas las posibilidades que pueden tener los números cuadrados.

Solución. Un entero n sólo puede ser congruente con alguno de los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 módulo 11. Los cuadrados tienen entonces las siguientes posibilidades:

nn^2 \pmod {11}
00
11
24
39
416\equiv 5
525\equiv 3
636\equiv 3
7(-4)^2\equiv 5
89
94
101

A partir del 6 estamos aprovechando que ya conocemos los del 1 al 6 y que a \equiv a-11 \pmod {11}. Notemos que sólo hay 6 residuos posibles para los cuadrados módulo 11, que son 0, 1, 4, 9, 5 y 3.

Ahora sí, resolvamos el problema. Como tenemos 13 números enteros y sólo hay 6 posibles residuos para los cuadrados módulo 11, entonces por principio de las casillas hay tres de estos enteros cuyo cuadrado deja el mismo residuo al dividirse entre 11, digamos a,b,c. Como dejan los tres el mismo residuo, tenemos 11\mid a-b, 11\mid b-c y 11\mid c-a, de donde se sigue la conclusión que queremos.

\square

Últimos dígitos

Los últimos m dígitos de un entero n corresponden con el residuo de dividir n entre 10^m. Por esta razón, en este tipo de problemas es conveniente usar módulos.

Problema. Determina los últimos dos dígitos de 7^{25}+25^7.

Sugerencia pre-solución. Trabajamos módulo 100, así que todas las congruencias son módulo 100. Hay muchas formas de proceder para encontrar 7^{21}. Notemos que 7^{2}\equiv 49. y que

    \[7^4\equiv 49\times 49 = 2401 \equiv 1.\]

Esto es una gran ventaja, pues entonces 7^{24}\equiv (7^4)^6 \equiv 1^6 \equiv 1, así que 7^{25}\equiv 7.

Para 25^7, nos conviene notar que 25=20+5, de modo que

    \begin{align*}25^2&=(20+5)^2\\&=20^2+2\cdot 20 \cdot 5 + 25\\&\equiv 25,\end{align*}

pues los primeros dos sumandos son múltiplos de 100. De esta forma, 25^7\equiv 25. Así, 7^{25}+25^7\equiv 7+25\equiv 32, por lo que los dos últimos dígitos de la expresión son 32.

\square

Veamos otro ejemplo en el que además combinamos un poco de la teoría mencionada en la entrada anterior.

Problema. Demuestra que existe un entero que es múltiplo de 2002 y que tiene por lo menos 2002 dígitos iguales a 7.

Sugerencia pre-solución. Intenta hacer que los 2002 dígitos 7 que se necesitan aparezcan hacia el final. Esto te permitirá usar congruencias. Además, necesitarás el resultado de la entrada anterior que dice que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como combinación lineal entera de ellos.

Solución. Tomemos el número N=777\cdots770, en donde hay 2002 dígitos iguales a 7.

El máximo común divisor de 2002 y 10^{2003} es 2, de modo que existen enteros m y n tales que 2002m+10^{2003}n=2.

Multiplicando esta igualdad por el entero N/2, obtenemos que 2002\cdot \frac{mN}{2}+10^{2003}\frac{nN}{2}=N. Aplicando módulo 10^{2003} obtenemos que 2002\cdot \frac{mN}{2} \equiv N \pmod {10^{2003}}.

Como N<10^{2003}, esto nos dice que 2002\cdot \frac{mN}{2} es un múltiplo de 2002 cuyos últimos 2003 dígitos son los de N, es decir, que tiene por lo menos 2002 dígitos iguales a 7.

\square

Teorema chino del residuo

En algunos problemas necesitamos construir un entero que satisfaga un conjunto de congruencias. El teorema chino del residuo nos da una condición bajo la cual podemos garantizar la existencia de dicho número.

Teorema. Sea n\geq 2 un entero, b_i enteros para i\in\{1,2,\ldots,n\} y m_i enteros positivos para i\in\{1,\ldots,n\}. Supongamos además que cada par m_i, m_j de enteros (i\neq j) son primos relativos. Entonces el sistema lineal de congruencias

    \begin{align*}x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\ x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\&\vdots\\ x&\equiv b_n\pmod {m_n}\end{align*}


tiene una y sólo una solución módulo m_1m_2\ldots m_n.

El teorema tiene muchas aplicaciones tanto en resolución de problemas, como en matemáticas en general. Veamos un ejemplo.

Problema. ¿Será posible encontrar 5 enteros consecutivos tales que cada uno de ellos sea divisible entre un cubo distinto de 1?

Sugerencia pre-solución. Intenta construir el ejemplo usando el teorema chino del residuo con 5 módulos y en donde los b_i son consecutivos.

Solución. Por el teorema chino del residuo, existe un entero positivo n tal que

    \begin{align*}n&\equiv 0 \pmod{2^3}\\n&\equiv -1\pmod{3^3}\\n&\equiv -2\pmod{5^3}\\n&\equiv -3\pmod{7^3}\\n&\equiv -4\pmod{11^3}\end{align*}

Para este entero, se tiene que 2^3 divide a n, 3^3 divide a n+1, 5^3 divide a n+2, 7^3 divide a n+3 y 11^3 divide a n+4.

\square

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Hay otros dos teoremas que sirven cuando estamos trabajando módulo n, de los cuales hemos escrito aquí en el blog. Para empezar, aquí hay una entrada con videos de ejercicios de trabajar módulo n.

El teorema de Fermat y el de Wilson ayudan a entender potencias y factoriales, respectivamente. En la entrada sobre el teorema chino del residuo damos una demostración al teorema.