Archivo de la etiqueta: diagonalizar

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema espectral y matrices positivas

Introducción

En esta entrada hablaremos de matrices simétricas y de matrices positivas. Nos enfocaremos en el caso en el que sus entradas sean números reales. Ambos tipos de matrices son fundamentales en la teoría de álgebra lineal. Tanto para las matrices simétricas como para las positivas hay resultados de caracterización que podemos utilizar en varios problemas matemáticos.

El teorema espectral para matrices simétricas reales

Si A es una matriz de m\times n, su transpuesta ^tA es la matriz de n\times m que se obtiene de reflejar a las entradas de A en su diagonal principal. Otra forma de decirlo es que si en términos de entradas tenemos A=[a_{ij}], entonces ^tA=[a_{ji}]. Una matriz y su transpuesta comparten muchas propiedades, como su determinante, su polinomio característico, su rango, sus eigenvalores, etc.

Decimos que una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta. Una matriz es ortogonal si es invertible y ^tA = A^{-1}. Las matrices simétricas y ortogonales con entradas reales son muy importantes y cumplen propiedades bonitas.

Teorema (teorema espectral). Si A es una matriz de n\times n con entradas reales y simétrica, entonces:

  • Sus eigenvalores \lambda_1,\ldots,\lambda_n (contando multiplicidades), son todos reales.
  • Existe una matriz ortogonal P de n\times n y con entradas reales tal que si tomamos a D la matriz diagonal de n\times n cuyas entradas en la diagonal principal son \lambda_1,\ldots,\lambda_n, entonces

        \[A=P^{-1}DP.\]

No todas las matrices se pueden diagonalizar. Cuando una matriz sí se puede diagonalizar, entonces algunas operaciones se hacen más sencillas. Por ejemplo si A=P^{-1}DP como en el teorema anterior, entonces

    \begin{align*}A^2&=(P^{-1}DP)(P^{-1}DP)\\&=P^{-1}DDP\\&=P^{-1}D^2P,\end{align*}

y de manera inductiva se puede probar que A^k=P^{-1}D^kP. Elevar la matriz D a la k-ésima potencia es sencillo, pues como es una matriz diagonal, su k-ésima potencia consiste simplemente en elevar cada una de las entradas en su diagonal a la k.

Problema. Sea A una matriz de n\times n simétrica y de entradas reales. Muestra que si A^k = O_n para algún entero positivo k, entonces A=O_n.

Sugerencia pre-solución. La discusión anterior te permite enunciar la hipótesis en términos de los eigenvalores de A. Modifica el problema a demostrar que todos ellos son cero.

Solución. Como A es simétrica y de entradas reales, entonces sus eigenvalores \lambda_1,\ldots, \lambda_n son reales y es diagonalizable. Digamos que su diagonalización es P^{-1} D P. Tenemos que

    \[O_n = A^k = P^{-1} D^k P.\]

Multiplicando por la matriz P a la izquierda, y la matriz P^{-1} a la derecha, tenemos que D^k=O_n. Las entradas de D^k son \lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k, y la igualdad anterior muestra que todos estos números son iguales a cero. De este modo,

    \[\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0.\]

Concluimos que D=O_n, y que por lo tanto A=P^{-1} O_n P = O_n.

\square

Veamos ahora un bello problema que motiva una fórmula para los números de Fibonacci desde la teoría del álgebra lineal.

Problema. Toma la matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Calcula las primeras potencias de A a mano. Conjetura y muestra cómo es A^n en términos de la sucesión de Fibonacci. A partir de esto, encuentra una fórmula para el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Sugerencia pre-solución. Para empezar, haz las primeras potencias y busca un patrón. Luego, para la demostración de esa parte, procede por inducción. Hay varias formas de escribir a la sucesión de Fibonacci, usa una notación que sea cómoda.

Solución. Al calcular las primeras potencias de la matriz A obtenemos:

    \begin{align*}A&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\\A^2&=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\\A^3&=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\  2& 3 \end{pmatrix},\\A^4&=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},\\A^5&=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}.\end{align*}

Al parecer, en las entradas de A van apareciendo los números de Fibonacci. Seamos más concretos. Definimos F_0=0, F_1=1 y para n\geq 0 definimos

    \[F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}.\]

La conjetura es que para todo entero n\geq 1, se tiene que

    \[A^n=\begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n \\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}.\]

Esto se puede probar por inducción. Arriba ya hicimos el caso n=1. Supongamos la conjetura cierta hasta un entero n dado, y consideremos la matriz A^{n+1}. Tenemos haciendo el producto de matrices, usando la hipótesis inductiva y la recursión de Fibonacci, que

    \begin{align*}A^{n+1}&=AA^n\\& =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n \\ F_n & F_{n+1} \end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1} \\ F_{n-1} + F_n & F_n + F_{n+1} \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} F_n & F_{n+1} \\ F_{n+1} & F_{n+2} \end{pmatrix}.\end{align*}

Esto termina el argumento inductivo y prueba la conjetura.

Para encontrar una fórmula para los Fibonaccis, lo que haremos ahora es usar el teorema espectral. Esto lo podemos hacer pues la matriz A es de entradas reales y simétrica. Para encontrar la matriz diagonal de la factorización, necesitamos a los eigenvalores de A. Su polinomio característico es

    \[\begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ - 1 & \lambda -1 \end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda -1.\]

Usando la fórmula cuadrática, las raíces de este polinomio (y por tanto, los eigenvalores de A) son

    \[\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.\]

Por el momento, para simplificar la notación, llamemos \alpha a la de signo más y \beta a la raíz de signo menos. Por el teorema espectral, existe una matriz invertible P de 2\times 2 tal que

    \[A=P^{-1}\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} P.\]

De esta forma,

    \[A^n =  P^{-1}\begin{pmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{pmatrix} P.\]

Aquí no es tan importante determinar concretamente P ni realizar las cuentas, sino darnos cuenta de que tras realizarlas cada entrada será una combinación lineal de \alpha^n y \beta^n y de que los coeficientes de esta combinación lineal ya no dependen de n, sino sólo de las entradas de P. En particular, la entrada superior derecha de A^n por un lado es F_n, y por otro lado es r\alpha^n + s\beta ^n.

¿Cómo obtenemos los valores de \alpha y \beta? Basta substituir n=1 y n=2 para obtener un sistema de ecuaciones en \alpha y \beta. Aquí abajo usamos que como \alpha y \beta son raíces de x^2-x-1, entonces \alpha^2=\alpha+1, \beta^2=\beta+1 y \alpha+\beta = 1.

    \[\begin{cases}1= F_1 = r \alpha + s \beta \\1= F_2 = r \alpha^2 + s \beta^2 = r + s + 1.\end{cases}\]

De aquí, obtenemos la solución

    \begin{align*}r&=\frac{1}{\alpha-\beta} = \frac{1}{\sqrt{5}}\\s&=-r = -\frac{1}{\sqrt{5}}.\end{align*}

Finalmente, todo este trabajo se resume a que una fórmula para los números de Fibonacci es

    \[F_n=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}.\]

\square

Matrices positivas y positivas definidas

Por definición, una matriz simétrica A de n\times n con entradas reales es positiva si para cualquier vector (columna) v en \mathbb{R}^n se tiene que

    \[^t v A v \geq 0.\]

Aquí ^tv es la transposición de v, es decir, el mismo vector, pero como vector fila.

Si además la igualdad se da sólo para el vector v=0, entonces decimos que A es positiva definida. Un ejemplo sencillo de matriz positiva es la matriz A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}, pues para cualquier vector v=(x,y) se tiene que

    \[^t v A v = x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\geq 0.\]

Sin embargo, esta matriz no es positiva definida pues la expresión anterior se anula en vectores no cero como (1,1). Como puedes verificar, un ejemplo de matriz positiva definida es

    \[B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.\]

Las matrices reales que son positivas definidas son importantes pues caracterizan todos los productos interiores en \mathbb{R}^n. Una vez que se tiene un producto interior en un espacio vectorial de dimensión finita, se pueden aprovechar muchas de sus propiedades o consecuencias, por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la existencia de bases ortogonales para hacer descomposiciones de Fourier.

Para cuando se quieren resolver problemas, es muy útil conocer varias equivalencias de que una matriz sea positiva.

Equivalencias para matrices positivas

El siguiente resultado enuncia algunas de las equivalencias para que una matriz sea positiva

Teorema. Sea A una matriz simétrica. Entonces todas las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. A es positiva.
  2. Todos los eigenvalores de A son no negativos.
  3. A=B^2 para alguna matriz simétrica B en M_n(\mathbb{R}).
  4. A= {^tC} C para alguna matriz C en M_n(\mathbb{R}).

Hay un resultado análogo para cuando se quiere determinar si una matriz A es positiva definida. En ese caso, los eigenvalores tienen que ser todos positivos. Para los puntos 3 y 4 se necesita además que B y C sean invertibles.

Problema. Sea A una matriz de n\times n con entradas reales, simétrica y positiva. Muestra que si

    \[\text{tr}(A) = n \sqrt[n]{\det(A)},\]

entonces A conmuta con cualquier matriz de n\times n.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás usar que matrices similares tienen la misma traza y el mismo determinante, o una versión particular para este problema.

Solución. Las siguientes son propiedades de la traza y el determinante:

  • El determinante de una matriz diagonal es el producto de las entradas en su diagonal.
  • Si tenemos dos matrices similares, entonces tienen la misma traza.

En particular, las hipótesis implican, por el teorema espectral, que A se puede diagonalizar con matrices A=P^{-1} D P, donde D es la matriz diagonal que tiene en su diagonal principal a los eigenvalores \lambda_1,\ldots,\lambda_n de A, y P^{-1} es una matriz invertible. Como A y D son similares, se tiene que

    \begin{align*}\text{tr}(A)=\text{tr}(D)=\lambda_1+\ldots+\lambda_n\\\det(A)=\det(D)=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n.\end{align*}

Como A es positiva, entonces todos sus eigenvalores son no negativos, así que satisfacen la desigualdad MA-MG:

    \[\frac{\lambda_1+\ldots+\lambda_n}{n} \geq \sqrt[n]{\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n}.\]

Por la última hipótesis del problema, esta desigualdad es de hecho una igualdad. Pero la igualdad en MA-MG se alcanza si y sólo si todos los números son iguales entre sí. Tenemos entonces que todos los eigenvalores son iguales a un cierto valor \lambda, y entonces D=\lambda I_n. Como cualquier múltiplo escalar de la matriz identidad conmuta con cualquier matriz de n\times n, tendríamos entonces que

    \begin{align*}A&=P^{-1}D P \\&=P^{-1}(\lambda I_n) P\\&=(\lambda I_n) (P^{-1}P)\\&=\lambda I_n.\end{align*}

Con esto probamos que A es de hecho un múltiplo de la matriz identidad, y por lo tanto conmuta con cualquier matriz de n\times n.

\square

Más problemas

Puedes encontrar más problemas del teorema espectral, de formas y matrices positivas en la Sección 10.2 y la Sección 10.8 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Álgebra Lineal I: Eigenvalores y eigenvectores de transformaciones y matrices

Introducción

En entradas anteriores ya establecimos los fundamentos para hablar de determinantes. Dimos su definición para el caso de vectores y el caso de matrices/transformaciones lineales. Enunciamos y demostramos varias de sus propiedades. Luego dedicamos toda una entrada a ver formas de calcularlos. Finalmente, vimos que nos pueden ayudar para entender mucho mejor a los sistemas de ecuaciones lineales. Entender bien estos conceptos te será de gran utilidad en tu formación matemática.

Además, los determinantes son un paso natural en uno de nuestros objetivos del curso: entender por qué las matrices simétricas reales son diagonalizables. Recuerda que una matriz A en M_n(F) es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz invertible P, ambas en M_n(F), de modo que

    \[A=P^{-1}DP.\]

Lo que haremos en esta entrada es hablar de esos valores que aparecen en la matriz diagonal D en el caso de que A sea diagonalizable. Resulta que estos valores están relacionados con una pregunta muy natural en términos de lo que le hace la matriz a ciertos vectores. Y mejor aún, como veremos, hay un método para encontrar estos valores por medio de un determinante. Vamos poco a poco.

Eigenvalores y eigenvectores para transformaciones lineales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea T:V\to V una transformación lineal. Para fijar ideas, pensemos en \mathbb{R}^n por el momento. A veces, T simplemente la cambia la magnitud a un vector, sin cambiarle la dirección. Es decir, hay algunos vectores para los cuales T se comporta simplemente como la multiplicación por un escalar. En símbolos, hay vectores v tales que existe un valor \lambda tal que T(v)=\lambda v.

Por supuesto, al vector 0 siempre le pasa esto, pues como T es lineal, se tiene que T(0)=0=\lambda\cdot 0 para cualquier escalar \lambda. Resulta que cuando se estudian estos vectores y escalares especiales, lo más conveniente es quitar al vector 0 de la discusión. Estas ideas llevan a la siguiente definición.

Definición. Un eigenvalor de una transformación lineal T:V\to V es un escalar \lambda tal que \lambda \text{id} - T no es invertible. En otras palabras, \lambda es un escalar tal que existe un vector no cero en el kernel de \lambda \text{id} - T. A un vector v\neq 0 en V tal que

    \[(\lambda \text{id} - T)v=0,\]

se le conoce como un eigenvector de T.

En otras palabras, v es un eigenvector correspondiente a T si v no es cero y T(v)=\lambda v. A los eigenvalores y eigenvectores de T también se les conoce en la bibliografía como valores propios y vectores propios de T.

Observa que si al conjunto de eigenvectores para un eigenvalor \lambda le agregamos el vector 0, entonces obtenemos el kernel de una transformación lineal, que sabemos que es un subespacio vectorial.

Veamos un par de ejemplos para que queden más claras las ideas.

Ejemplo. Consideremos a la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 dada por

    \[T(x,y,z)=(-2x+15y+18z,3y+10z,z).\]

Observa que

    \begin{align*}T(1,0,0)&=(-2,0,0)\\&=-2(1,0,0),\end{align*}

que

    \begin{align*}T(-19,-5,1)&=((-2)(-19)+15(-5)+18,3(-5)+10, 1)\\&=(28+75-18,-15+10,1)\\&=(-19,-5,1),\end{align*}

y que

    \begin{align*}T(3,1,0)&=(-6+15,3,0)\\&=(9,3,0)\\&=3(3,1,0).\end{align*}

Estas igualdades muestran que (1,0,0) es un eigenvector de T con eigenvalor -2, que (-19,-5,1) es un eigenvector de T con eigenvalor 1 y (3,1,0) es un eigenvector de T con eigenvalor 3.

\square

Ejemplo. Consideremos al espacio vectorial \mathbb{R}[x] de polinomios con coeficientes reales. Tomemos la transformación lineal T que manda a un polinomio a su segunda derivada. ¿Quiénes son los eigenvalores y eigenvectores de T?

Para que p sea un eigenvector con eigenvalor \lambda, tiene que suceder que

    \[p''=T(p)=\lambda p.\]

Como p no es el vector cero, tiene un cierto grado. Si \lambda \neq 0, entonces la igualdad anterior no puede suceder, pues si p es de grado mayor o igual a 2, entonces el grado de p'' es menor al de \lambda p, y si el grado de p es 0 ó 1, su segunda derivada es 0, y no puede pasar \lambda p = 0. Así, el único eigenvalor que puede tener T es \lambda = 0. Observa que sí es válido que los eigenvalores sean cero (los eigenvectores no).

Cuando \lambda = 0, tiene que pasar que p'' sea 0\cdot p, es decir, el polinomio cero. Los únicos polinomios tales que su derivada es cero son los constantes y los lineales. Pero el polinomio cero por definición no es eigenvector.

Así, la respuesta final es que el único eigenvalor de T es 0, y sus eigenvectores correspondientes son los polinomios constantes distintos de cero, y los polinomios lineales.

\square

Eigenvalores y eigenvectores para matrices

Tenemos una definición similar para matrices. Sea A una matriz en M_n(F).

Definición. Un escalar \lambda en F es un eigenvalor de A si la matriz \lambda I_n - A no es invertible. En otras palabras, si existe un vector no cero X en F^n tal que AX=\lambda X. A un tal vector X se le conoce como un eigenvector correspondiente al eigenvalor \lambda.

En otras palabras, los eigenvalores y eigenvectores de A son exactamente los eigenvalores y eigenvectores de la transformación T_A:\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n dada por T_A(v)=Av.

Además, si elegimos cualquier base B de un espacio de dimensión finita V y A es la matriz de T con respecto a la base B, entonces para cualquier escalar \lambda se tiene que \lambda I_n - A es la matriz de \lambda \text{id} - T con respecto a esta misma base. De aquí se deduce que los eigenvalores de T son los mismos que los eigenvalores de A. Dos matrices que representan a T difieren sólo en un cambio de base, así que obtenemos el siguiente resultado fundamental.

Proposición. Si A es una matriz en M_n(F) y P es una matriz invertible, entonces A y P^{-1}AP tienen los mismos eigenvalores. En otras palabras, matrices similares tienen los mismos eigenvalores.

En el primer ejemplo tomamos la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 tal que

    \[T(x,y,z)=(-2x+15y+18z,3y+10z,z).\]

Su matriz en la base canónica de \mathbb{R}^3 es

    \[A=\begin{pmatrix} -2 & 15 & 18\\ 0 & 3 & 10\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

En el ejemplo vimos que los eigenvalores eran -2, 1 y 3, que precisamente conciden con las entradas en la diagonal de A. Esto no es casualidad. El siguiente resultado muestra esto, y es una primer evidencia de la importancia de los determinantes para encontrar los eigenvalores de una matriz.

Proposición. Si A es una matriz triangular (superior o inferior) en M_n(F), entonces sus eigenvalores son exactamente las entradas en su diagonal principal.

Demostración. Haremos el caso para cuando A es triangular superior. El otro caso queda de tarea moral.

Queremos encontrar los valores \lambda para los cuales la matriz \lambda I_n - A no sea invertible. La matriz A es triangular superior, así que la matriz \lambda I_n - A también, pues las entradas de A se vuelven negativas, y luego sólo se altera la diagonal principal.

Si las entradas diagonales de A son a_{11},\ldots,a_{nn}, entonces las entradas diagonales de \lambda I_n -A son

    \[\lambda - a_{11},\ldots,\lambda-a_{nn}.\]

La matriz \lambda I_n - A no es invertible si y sólo si su determinante es igual a cero. Como es una matriz triangular superior, su determinante es el producto de sus entradas diagonales, es decir,

    \[\det(\lambda I_n - A) = (\lambda - a_{11})\cdot\ldots\cdot(\lambda - a_{nn}).\]

Este producto es 0 si y sólo si \lambda es igual a alguna entrada a_{ii}. De esta forma, los únicos eigenvalores de A son las entradas en su diagonal.

\square

Si A es una matriz diagonalizable, entonces es semejante a una matriz diagonal D. Por la proposición anterior, los eigenvalores de A serían entonces las entradas en la diagonal principal de D. Esto nos da una intuición muy importante: si acaso pudiéramos encontrar todos los eigenvalores de A, entonces eso podría ser un paso parcial hacia diagonalizarla.

Encontrar eigenvalores es encontrar las raíces de un polinomio

La siguiente proposición conecta eigenvalores, polinomios y determinantes.

Proposición. Sea A una matriz en M_n(F). Entonces la expresión

    \[\det(\lambda I_n - A)\]

está en F[\lambda], es decir, es un polinomio en la variable \lambda con coeficientes en F. Además, es de grado exactamente n.

Demostración. La fórmula para el determinante

    \begin{align*}\begin{vmatrix}\lambda - a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n}\\-a_{21} & \lambda - a_{22} & \ldots & -a_{1n}\\\vdots & & \ddots & \\-a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & \lambda - a_{nn}\end{vmatrix}\end{align*}

en términos de permutaciones nos dice que el determinante es sumas de productos de entradas de A. Cada una de las entradas es un polinomio en F[\lambda], ya sea constante, o lineal. Como F[\lambda] es cerrado bajo sumas y productos, esto prueba la primer parte de la afirmación.

Para probar que el grado es exactamente n, notemos que cada sumando de la expresión multiplica exactamente n entradas. Como las entradas a lo mucho son de grado uno en F[\lambda], entonces cada sumando es un polinomio de grado a lo más n. Hay una única forma que el grado sea n: cuando se elige la permutación identidad y entonces se obtiene el sumando

    \[(\lambda-a_{11})\cdot\ldots\cdot(\lambda-a_{nn}).\]

Esto termina la prueba.

\square

La proposición anterior nos asegura entonces que la siguiente definición tiene sentido.

Definición. Para A una matriz en M_n(F), el polinomio característico de A es el polinomio \chi_A(\lambda) en F[\lambda] dado por

    \[\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A).\]

De esta forma, \lambda es un eigenvalor de A si y sólo si es una raíz del polinomio \chi_A(\lambda). Esto son buenas y malas noticias. Por un lado, nos cambia un problema de álgebra lineal a uno de polinomios, en donde a veces tenemos herramientas algebraicas que nos ayudan a encontrar raíces. Sin embargo, como se ve en cursos anteriores, también hay otros polinomios para los cuales es muy difícil encontrar sus raíces de manera exacta. Lo que salva un poco esa situación es que sí existen métodos para aproximar raíces numéricamente de manera computacional.

A pesar de la dificultad de encontrar raíces, sin duda tenemos consecuencias interesantes de esta conexión. Consideremos como ejemplo el siguiente resultado.

Proposición. Una matriz A en M_n(F) tiene a lo más n eigenvalores distintos. Lo mismo es cierto para una transformación lineal T:V\to V para V un espacio vectorial de dimensión n.

Demostración. La matriz A tiene tantos eigenvalores como raíces en F tiene su polinomio característico. Como el polinomio característico es de grado exactamente n, tiene a lo más n raíces en F.

La parte de transformaciones queda de tarea moral.

\square

Ya que encontramos los eigenvalores de una matriz o transformación, es posible que queramos encontrar uno o más eigenvectores correspondientes a ese eigenvalor. Observa que eso corresponde a encontrar una solución no trivial al sistema lineal de ecuaciones homogéneo de la forma

    \[(I_n-A) X = 0.\]

Para ello ya tenemos muchas herramientas, como hacer reducción Gaussiana.

Terminamos esta entrada con un ejemplo de cómo encontrar los valores propios y vectores propios en un caso concreto.

Problema. Encuentra los eigenvalores de la matriz

    \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

considerándola como:

  • Una matriz en M_3(\mathbb{R})
  • Una matriz en M_3(\mathbb{C}).

En el caso de M_n(\mathbb{R}), encuentra un eigenvector para cada eigenvalor.

Solución. Para encontrar los eigenvalores, tenemos que encontrar el determinante

    \[\begin{vmatrix}\lambda - 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{vmatrix}.\]

Usando expansión de Laplace en la primer columna y haciendo las operaciones, obtenemos que el determinante de \lambda I_3 - A es el polinomio

    \[(\lambda-1)(\lambda^2+1).\]

Aquí es importante la distinción de saber en qué campo estamos trabajando. Si estamos en M_3(\mathbb{R}), la única raíz del polinomio es 1. Si estamos en M_3(\mathbb{C}), obtenemos otras dos raíces: i y -i.

Ahora, para cuando A es matriz en M_3(\mathbb{R}), necesitamos encontrar un eigenvector para el eigenvalor 1. Esto equivale a encontrar una solución al sistema de ecuaciones

    \[(I_3-A)X=0,\]

es decir, a

    \[\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}X=0.\]

Una solución para este sistema es X=(1,0,0). Y en efecto, (1,0,0) es eigenvector de A para el eigenvalor 1 pues no es el vector cero y

    \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\]

\square

Observa que la matriz anterior no es diagonalizable en M_n(\mathbb{R}), pues si lo fuera tendría que ser semejante a una matriz diagonal D con entradas i y -i en la diagonal, pero entonces D no sería una matriz en M_n(\mathbb{R}). Esto nos da otra intuición con respecto a la diagonalización de una matriz: si acaso una matriz en M_n(F) es diagonalizable, entonces su polinomio característico debe tener puras raíces en F. Esta es una condición necesaria, pero aún no es suficiente.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • En la entrada vimos que los eigenvalores de una transformación T son los eigenvalores de cualquier matriz que la represente. ¿Es cierto que los eigenvectores de T son los eigenvectores de cualquier matriz que lo represente?
  • Muestra que una transformación lineal T:V\to V para V un espacio vectorial de dimensión n tiene a lo más n eigenvalores distintos.
  • Encuentra los eigenvalores de las matrices de permutación.
  • Para un real \theta\in[0,2\pi) se define la matriz

        \[A(\theta):=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.\]

    Muestra que A(\theta) tiene eigenvalores reales si y sólo si \theta=0 \o \theta=\pi. Sugerencia: Encuentra el polinomio característico (que es cuadrático) y calcula su discrimintante. Si es negativo, no tiene soluciones reales.
  • Sea A una matriz en M_n(F). Muestra que la matriz transpuesta ^t A tiene los mismos eigenvalores que A, y de hecho, el mismo polinomio característico que A. Sugerencia. Recuerda que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante.