Introducción
Uno de los teoremas clave de los cursos de cálculo de varias variables es el teorema de la función inversa (TFI). En la Facultad de Ciencias de la UNAM se estudia en la materia Cálculo III. En esta entrada me gustaría presentar de la manera más auto-contenida posible este resultado.
Platicaré un poco de las definiciones de los términos que aparecen en el enunciado, así como de la intuición de por qué el teorema es cierto. Después presentaré los ingredientes principales para la prueba «clásica». Finalmente, presentaré la prueba intentando motivarla y dividiéndola en secciones pequeñas.
El enunciado con el que trabajaremos es el siguiente:
Teorema de la función inversa
Seauna función de clase
con matriz Jacobiana
. Supongamos que
y que
es invertible. Entonces existen vecindades abiertas
y
de
y
respectivamente para las cuales:
a)es una biyección,
b) su inversaes de clase
y
c).
Lo que nos espera es aproximadamente lo que está en el siguiente diagrama, donde las flechas indican a grandes rasgos qué resultado se usa para probar qué otro.

Definiciones e intuición
La función con la que comenzamos es una función de a
, así que la podemos descomponer en sus funciones coordenadas de la siguiente manera:
Que la función sea de clase quiere decir que las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables existen, que estas son continuas y que localmente
«se comporta» como la transformación lineal correspondiente a la matriz Jacobiana siguiente:
Entonces, a grandes rasgos lo que nos dice el teorema de la función inversa es lo siguiente. Si se comporta como una transformación lineal
invertible «cerquita» del punto
, entonces en realidad es invertible «cerquita» del punto
y más aún, la inversa se comporta como la transformación lineal
«cerquita» del punto
.
Suena bastante razonable, pero hay algunos aspectos que son sorprendentes. Uno es que se garantiza la invertibilidad en todo un abierto . Si no se requiriera que fuera abierto, sería chafa porque podríamos tomar
y
y la restricción sería trivialmente invertible. Lo otro es que el teorema también garantiza que la inversa es diferenciable, lo cual de entrada no es evidente.
Para la prueba necesitamos hablar de dos normas. Cuando tengamos un vector en
,
denotará la norma euclideana
Necesitaremos también la norma de Frobenius. Como recordatorio, para una matriz de
, su norma de Frobenius está dada por
o equivalentemente, si es el
-ésimo renglón de
, tenemos que
pues ambas expresiones suman todas las entradas de la matriz al cuadrado.
Ingredientes para la prueba
Pasemos ahora a algunos resultados auxiliares que es más cómodo probar desde antes. Algunos de ellos son más generales que lo que enuncio (e incluso con la misma prueba), pero con el fin de que la demostración sea auto-contenida, he decidido enunciar sólo lo que necesitamos.
Teorema del punto fijo de Banach (para
)
Sea
un compacto de
y
una función continua. Supongamos que
es una contracción, es decir, que existe un real
para el cual
para todos
.
Entonces
tiene un único punto fijo, es decir existe uno y sólo un punto
para el cual
.
Para probar el teorema del punto fijo de Banach basta tomar cualquier punto inicial y considerar la sucesión
construida recursivamente con la regla
para
. Usando que
es contracción y la fórmula para series geométricas se puede mostrar inductivamente que para
se tiene
Como , el lado derecho se hace arbitrariamente pequeño conforme
se hace grande, así que ésta es una sucesión de Cauchy. Por la compacidad de
y completud de
, tenemos que la sucesión converge a un punto
. Por continuidad, este punto satisface:
La unicidad no necesita la compacidad de , sino únicamente que
sea contracción. En efecto, si hay otro punto fijo
entonces
de donde , pues si no se tendría una contradicción. Así,
.
Desigualdades entre la norma de Frobenius
Paray
matrices reales de
tenemos que
a)y
b).
La desigualdad (a) se prueba usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En efecto, si son los renglones de la matriz
, tenemos que
entrada a entrada tenemos por Cauchy-Schwarz que
de modo que sumando para tenemos que
lo cual prueba la desigualdad (a). La desigualdad (b) se prueba de manera similar, tomando fila por fila a la matriz y columna por columna a la matriz
.
Desigualdad del valor medio
Sea
un abierto convexo y
una función de clase
. Sean
puntos en
para los cuales la cual la norma de Frobenius del Jacobiano
está acotada sobre el segmento
por una constante
. Entonces:
La desigualdad del valor medio requiere de algunos pasos intermedios. Definamos . La clave es probar las siguientes tres afirmaciones:
La primera es una «generalización» del teorema del valor medio de una variable. Se prueba coordenada a coordenada usando el Teorema Fundamental del Cálculo, la regla de la cadena y un intercambio de integral con suma (usando la continuidad de las derivadas parciales).
La segunda se prueba usando desigualdad del triángulo para integrales y la desigualdad (a) que probamos arriba para la norma de Frobenius.
La tercera se sigue de manera inmediata de la cota hipótesis para la matriz Jacobiana, pues recorre el segmento
conforme
recorre el intervalo
.
Combinando las tres afirmaciones concluimos
que es justo lo que queríamos probar.
Con esto terminamos los pre-requisitos para probar el TFI. Aquí ya se ve algo interesante sucediendo. En el TFI queremos mostrar que cierta restricción es biyectiva, osea que cierto sistema de ecuaciones tiene una y sólo una solución. Esto se asemeja al teorema del punto fijo de Banach, donde, bajo ciertas condiciones de contracción, hay uno y sólo un punto fijo. El teorema de la desigualdad media puede ayudar a mostrar que una función contrae. Todo esto no es casualidad. A continuación veremos cómo combinar estos ingredientes.
Demostración del TFI
Estamos listos para dar la demostración del teorema de la función inversa. Por comodidad, aquí lo enunciamos de nuevo:
Teorema de la función inversa
Seauna función de clase
con matriz Jacobiana
. Supongamos que
y que
es invertible. Entonces existen vecindades abiertas
y
de
y
respectivamente para las cuales:
a)es una biyección,
b) su inversaes de clase
y
c).
Para el teorema necesitamos definir quién es el abierto . Lo tomaremos como
, una bola abierta y centrada en
de radio
. La idea es tomar
tan pequeño como para que para
tengamos que
sea invertible y
Ambas cosas las podemos hacer pues la asignación es continua ya que
de clase
. En el transcurso de la prueba discutiremos la motivación de esta elección. A
lo tomaremos como
.
Lo primero que haremos es reformular parte (a) en términos de puntos fijos. Queremos que la restricción que estamos buscando sea biyectiva. En otras palabras, para
queremos que la ecuación
tenga una y sólo una solución
en
. Como por hipótesis la matriz
es invertible, esto sucede si y sólo si
es decir, si y sólo si es un punto fijo de la función
. Parece un poco artificial haber introducido a
, pero como veremos a continuación tiene sentido pues nos ayudará para que
sea contracción.
Teniendo en mente que queremos usar la desigualdad del valor medio, calculamos y acotamos la norma de la derivada de como sigue
Aquí es donde usamos (y se motiva parte de) nuestra elección de : nos permite acotar
superiormente con
y por lo tanto podemos concluir la desigualdad anterior como
(1)
Por la desigualdad del valor medio, concluimos la siguiente observación clave:
Para
en
tenemos que
es contracción en
con factor
. En otras palabras, para
en
, tenemos
La prueba a partir de ahora se divide en los siguientes pasos:
- Mostrar que
es biyectiva.
- Mostrar que
es abierto
- Mostrar que
es diferenciable y y
- Mostrar que las derivadas parciales son continuas
es biyectiva.
La suprayectividad la tenemos gratis, pues por definición .
Para la inyectividad, tomamos y supongamos que existen
y
en
tales que
. Esto quiere decir que
y
son puntos fijos de la contracción
. Como vimos en la prueba del teorema del punto fijo de Banach, esto implica que
. Así,
, de modo que
es inyectiva y por lo tanto es biyectiva.
Nota: Aquí no estamos usamos el teorema del punto fijo de Banach pues no es compacto. Sólo estamos usando que las contracciones son inyectivas.
es abierto
Tomemos en
, es decir, para la cual existe
en
con
. Queremos ver que si «
está muy cerquita de
» , entonces hay una solución para
con
en
.
Como es abierto, existe
tal que la bola
abierta de centro
y radio
se queda contenida en
. Tomemos
en la bola
. Vamos a ver que
tiene solución en
. Consideremos la función
, pero restringida a la bola cerrada
. Mostraremos que la imagen de
se queda contenida en
. En efecto:
De este modo, es una contracción del compacto
a sí mismo. Por lo tanto, tiene un punto fijo en
, de modo que
para
. Esto muestra que
es abierto.
es diferenciable y 
Vamos a demostrar que es diferenciable a partir de la definición de diferenciabilidad. Más aún, veremos que si
para
en
, entonces
. Aquí es donde se termina de motivar nuestra elección en
, pues nos garantiza que a la derecha en efecto tenemos una matriz invertible.
Tomemos entonces . Nos interesa el límite cuando
de la siguiente expresión
Como es abierto, si
es pequeña entonces
está en
. De este modo, existe
tal que
y
. Así, la expresión anterior la podemos reescribir como
(2)
Antes de continuar, probemos una desigualdad auxiliar. Notemos que
así,
(3)
Substituyendo el valor de en (2), concluimos que la expresión es menor o igual a
(4)
Estamos listos para terminar. La desigualdad (3) también garantiza que cuando
. Así, como
es diferenciable, tenemos que la expresión (4) tiende a
. Esto muestra que
es diferenciable en
con
, tal como queríamos.
Las derivadas parciales son continuas
Esta parte es sencilla a partir de la parte anterior. Tenemos que:
Por la regla de Cramer la inversa de una matriz depende continuamente de las entradas de la matriz original. Además, la asignación es continua. Así, las entradas de
(las derivadas parciales de
) dependen continuamente de las derivadas parciales de
, que dependen continuamente de
por hipótesis.