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Teorema de navidad de Fermat: primos suma de dos cuadrados

Comentario de Leo: Esta es una escrita en conjunto con por Alexandher Vergara, estudiante en ESFM. En ella hablamos del teorema de navidad de Fermat, una idea de la prueba y de las consecuencias. Si quieres contribuir con algún tema de matemáticas, puedes contactarme por correo electrónico, o dejando un comentario aquí en el blog.

Introducción

En entradas anteriores hemos visto temas de teoría de números, como divisibilidad y teoría de congruencias. También hablamos acerca de números primos y del teorema fundamental de la aritmética. A continuación probaremos una parte del famoso «teorema de navidad de Fermat», el cual dice cuáles primos impares son la suma de dos cuadrados.

Teorema (teorema de Navidad de Fermat). Un número primo p>2 es la suma del cuadrado de dos enteros si y sólo si p\equiv 1 \pmod 4.

Enunciado del teorema de Navidad de Fermat

El teorema recibe este nombre pues Fermat escribió una carta con muchos detalles acerca del resultado para Mersenne, cuya fecha fue el 25 de diciembre de 1640.

Este resultado nos lleva un paso más adelante en teoría de números. Por un lado, tiene «el mismo sabor» que el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange.

Teorema (teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange). Todo entero no negativo puede ser escrito como suma de los cuadrados de cuatro números enteros.

Por otro lado, el teorema de Navidad de Fermat también nos ayuda a demostrar un caso particular del teorema de Dirichlet para primos sobre progresiones aritméticas.

Teorema 1. Hay infinitos números primos de la forma 4k+1 e infinitos números de la forma 4k+3.

El teorema de Dirichlet es una generalización de este resultado.

Teorema (teorema de Dirichlet). Si a y b son primos relativos, entonces existe una infinidad de primos p tales que p\equiv a \pmod b.

Las demostraciones de los teoremas de Lagrange y de Dirichlet requieren de varios argumentos para los cuales aún no hemos desarrollado teoría suficiente. La idea de esta entrada de blog es demostrar el teorema de Navidad de Fermat y usarlo para demostrar el Teorema 1.

El teorema de Navidad de Fermat

En la demostración del teorema de navidad de Fermat usaremos el siguiente resultado.

Teorema 2. Si p es un número primo y la ecuación a^2+1 \equiv 0 \pmod p tiene solución para algún a, entonces p se puede representar como una suma de dos cuadrados.

Por el momento, no nos enfocaremos en demostrar este resultado auxiliar. Existen muchas pruebas en la literatura, por ejemplo, una por J.H. Grace usando latices de enteros (The four square theorem).

Demostración del teorema de Navidad de Fermat. Supongamos primero que p=x^2+y^2 para enteros no negativos x,y. El hecho de que p \equiv 1 \pmod 4 se desprende de dos propiedades del anillo \mathbb{Z}_4. Notemos primero que cualquier entero impar es congruente con 1 \pmod 4 o con 3\pmod 4. Además, cualquier cuadrado es congruente con 0 \pmod 4 o 1\pmod 4, pues si x es congruente con 0,1,2,3 \pmod 4 entonces x^2 es congruente con 0,1,0,1 \pmod 4, respectivamente. Como p=x^2+y^2, sabemos entonces que

    \[p\equiv x^2+y^2=0,1 \text{ \'o } 2 \pmod 4.\]

Pero p es un primo mayor que 2, entonces p es impar. Así, p\equiv 1 \pmod 4.

Observación. En esta parte de la prueba en realidad es un poco más general, pues muestra que si n es un entero impar que se puede representar como suma de dos cuadrados, entonces n\equiv 1 \pmod 4.

Supongamos ahora que p\equiv 1 \pmod 4. Lo primero que haremos es mostrar que a^2+1\equiv 0 \pmod p tiene solución para alguna a, y después usaremos el Teorema 2 para obtener que p es suma de dos cuadrados.

Primero, examinaremos los factores en

    \[(p-1)!=1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2}\cdot \ldots \cdot (p-2) \cdot (p-1).\]

A los últimos (p-1)/2 factores los pensamos como sigue: p-1\equiv -1 \pmod p, p-2\equiv -2\pmod p, …, \frac{p+1}{2}\equiv -\frac{p-1}{2} \pmod p. El factorial se convierte entonces en

    \begin{align*}(p-1)!&\equiv 1\cdot \ldots \cdot \left(\frac{p-1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot (-1)\\&\equiv (-1)^{(p-1)/2} \left(1\cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2}\right)^2 \pmod p.\end{align*}

Definiendo a= 1\cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2}, lo anterior se puede escribir como

    \[(p-1)!\equiv (-1)^{(p-1)/2} a^2 \pmod p.\]

Por el teorema de Wilson, (p-1)!\equiv -1 \pmod p. Como p\equiv 1 \pmod 4, tenemos p=4k+1 para algún entero k. Entonces, (p-1)/2=2k, que es par, de modo que (-1)^{(p-1)/2}=1. De esta forma, tenemos que

    \[-1\equiv a^2 \pmod p.\]

Sumando 1 de ambos lados, tenemos que a^2+1\equiv 0 \pmod p. Aplicando el Teorema 2, concluimos que p es suma de dos cuadrados.

\square

Infinidad de primos de las formas 4k+1 y 4k+3

Todos los primos mayores que 2 son impares, así que son o bien de la forma 4k+1, o bien de la forma 4k+3. Sabemos además que hay una infinidad de números primos. ¿Será cierto que hay una infinidad de ellos de la forma 4k+1 y una infinidad de ellos de la forma 4k+3?

Por el principio de las casillas, tiene que suceder por lo menos alguna de estas dos opciones. Si hubiera una cantidad finita de la forma 4k+1 y de la forma 4k+3, entonces por el párrafo anterior habría sólo una cantidad finita de primos, lo cual es una contradicción.

Lo que dice el Teorema 1 es más fuerte. Lo volvemos a poner aquí por conveniencia para el lector.

Teorema 1. Hay infinitos números primos de la forma 4k+1 e infinitos números de la forma 4k+3.

Es decir, el Teorema 1 afirma que para cada uno de los tipos hay una infinidad de primos. Veamos que en efecto esto sucede.

La primera parte del Teorema 1 no necesita que usemos el teorema de Navidad de Fermat.

Proposición 1. Hay una infinidad de primos de la forma 4k+3.

Demostración. Supongamos que existiera únicamente una cantidad finita n de primos de la forma 4k+3 y supongamos que ellos son p_1<\ldots<p_n, en donde p_1=3. Consideremos el número N=4p_2p_3\ldots p_n +3 (ojo: no estamos incluyendo al 3 en la multiplicación). Este número no puede ser primo pues es mayor que p_n y N\equiv 3\pmod 4. De esta forma, debe tener al menos un divisor primo.

Tenemos que N es impar, así que 2 no divide a N. Si todos los divisores primos de N fueran 1\pmod 4, entonces N sería 1\pmod 4, pero esto no es cierto. De este modo, algún divisor primo p de N debe satisfacer p\equiv 3 \pmod 4. Notemos que p no puede ser 3, pues si 3\mid N, tendríamos 3\mid 4p_1 \ldots p_n, pero esto es imposible pues el número de la derecha no tiene ningún factor 3. Con esto concluimos que p=p_i para algún entero i=2,\ldots,n. Sin embargo, si p_i\mid N, entonces p_i\mid N-(p_2\ldots p_n)=3. Esto también es imposible pues p_i\neq 3. Así, es inevitable llegar a una contradicción, por lo que hay una infinidad de primos de la forma 4k+3.

\square

La demostración anterior no funciona directamente para los primos de la forma 4k+1, pues si hubiera una cantidad finita n de ellos p_1<\ldots < p_n y consideramos al número 4p_1\ldots p_n+1, este número es congruente con 1\pmod 4, pero nada garantiza que sus factores primos deban ser de la forma 1\pmod 4 pues, por ejemplo, 3\equiv 3\pmod 4, 7\equiv 3\pmod 4, pero 3\cdot 7 \equiv 21 \equiv 1\pmod 4. Tenemos que hacer algo distinto.

Proposición 2. Hay una infinidad de primos de la forma 4k+1.

Demostración. Supongamos que existe una cantidad finita n de primos de la forma 4k+1 y que son p_1<\ldots<p_n. Consideremos al número N=4(p_1p_2\ldots p_n)^2 +1. Este número es de la forma 4k+1. Por esta razón, es imposible que N sea primo, pues es mayor que todo p_i.

Sea p un divisor primo de N. Como N es impar, p\neq 2. Como p divide a N, tenemos que (2p_1\ldots p_n)^2+1\equiv 0 \pmod p, de modo que x^2+1\equiv 0 \pmod p tiene solución y por el Teorema 2, p se puede escribir como suma de dos cuadrados. Por el teorema de Navidad de Fermat, p\equiv 1\pmod 4. De esta forma, p=p_i para alguna i. Pero entonces, p divide a N y a 4(p_1\ldots p_n)^2, de modo que divide a su resta, que es 1. Esto es imposible. Esta contradicción muestra que hay una cantidad infinita de primos de la forma 4k+1.

\square

El Teorema 1 se sigue de las proposiciones 1 y 2.

¿Dónde seguir?

Aquí en el blog hay otras entradas en donde hablamos acerca de teoría de números. Puedes revisar las siguientes:

Álgebra Superior II: Teorema chino del residuo

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y de algunos teoremas que se pueden usar para trabajar con potencias y factoriales módulo un entero. También, aprendimos a resolver una ecuación lineal módulo n. El resultado principal fue el siguiente:

Teorema 1. Sean a,b enteros y n un entero positivo. La ecuación ax\equiv b\pmod n tiene solución si y sólo si M:=\text{MCD}(a,n) divide a b. Cuando sí hay solución, ésta se puede expresar de manera única en módulo n':=n/M.

Ya que sabemos resolver una ecuación lineal, el siguiente paso es aprender a resolver sistemas que involucren dos o más ecuaciones lineales. En esta entrada veremos primero cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales.

Luego, veremos cómo resolver un sistema con más ecuaciones y demostraremos un resultado clásico: el teorema chino del residuo. Pero para eso necesitaremos el resultado para dos ecuaciones lineales. Vamos poco a poco.

Sistemas de dos ecuaciones lineales

Supongamos que queremos entender por completo el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}ax&\equiv b \pmod m\\cx&\equiv d \pmod n,\end{align*}

es decir, determinar cuándo existe una x que satisfaga ambas ecuaciones y, si existe, determinar cómo se ven todas las soluciones. Por lo primero que nos tenemos que preocupar es por que cada una de las ecuaciones tenga solución: si alguna no tiene, entonces no hay solución para el sistema.

Así, lo primero que tiene que pasar es que \text{MCD}(a,m) divida a b y que \text{MCD}(c,n) divida a d. Cuando sí tienen solución, entonces podemos intercambiar a las ecuaciones por sus ecuaciones reducidas y obtener el sistema de ecuaciones lineales equivalente

    \begin{align*}a'x&\equiv b' \pmod {m'}\\c'x&\equiv d' \pmod {n'}.\end{align*}

La primera ecuación tiene una única solución módulo m' y la segunda una única solución módulo n', así que este sistema es equivalente al sistema

    \begin{align*}x&\equiv e \pmod {m'}\\x&\equiv f \pmod {n'},\end{align*}

en donde e y f son las soluciones a cada una de las ecuaciones lineales reducidas por separado. Ahora sí podemos combinar ambas ecuaciones. Lo único que nos falta es entender cuándo los sistemas de esta forma tienen solución.

Ejemplo. El sistema lineal de ecuaciones

    \begin{align*}x&\equiv 2 \pmod 6\\x&\equiv  4 \pmod {15}\end{align*}


no tiene solución.

Solución. La primera ecuación implica que 6\mid x-2. Como 3\mid 6, por transitividad tenemos 3\mid x-2, así que la primera ecuación implica que x deja residuo 2 al dividirse entre 3.

La segunda ecuación implica que 15\mid x-4. Como 3\mid 15, por transitividad 3\mid x-4, o bien x\equiv 4 \equiv 1 \pmod 3. Es decir, la segunda ecuación implica que x deja residuo 1 al dividirse entre 3. De esta forma, es imposible satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones.

\square

En el ejemplo anterior, 3 es el máximo común divisor de 6 y 15 y por eso convino estudiar la divisibilidad entre 3. La siguiente proposición justo dice cuándo el sistema tiene solución en términos de cierta divisibilidad por el máximo común divisor de los módulos.

Proposición 4. Sean a y b enteros y m y n enteros positivos. El sistema lineal de ecuaciones en congruencias

    \begin{align*}x&\equiv a \pmod m\\x&\equiv b \pmod n\end{align*}

tiene solución si y sólo si M:=\text{MCD}(m,n) divide a a-b. En este caso, la solución se puede expresar de manera única módulo N:=\text{mcm}(m,n), el mínimo común múltiplo de m y n.

Demostración. Supongamos que x es solución. Por la primera ecuación, m\mid x-a y como M\mid m, entonces M\mid x-a. De manera análoga, M\mid x-b. Así, M\mid (x-b)-(x-a)=a-b, lo cual prueba una implicación de la proposición.

Por otro lado, si M divide a a-b, entonces existe una combinación lineal de m y n que da a-b, digamos ym+zn=a-b, que podemos reescribir como b+zn=a-ym. Tomemos x=b+zn=a-ym. Notemos que

    \begin{align*}x&=a-ym\equiv a\pmod m\\x&= b+zn \equiv b \pmod n,\end{align*}

de modo que x es solución para el sistema. Notemos que x+rN para cualquier r entero y N el mínimo común múltiplo de m y n también es solución pues N\equiv 0 \pmod m y N\equiv 0 \pmod n.

Veamos que la solución es única módulo N. Si tenemos x y y que son soluciones al sistema, entonces tenemos

    \begin{align*}x&\equiv a \equiv y\pmod m\\x&\equiv b \equiv y\pmod n,\end{align*}

lo cual implica m\mid x-y y n\mid x-y. Como N es el mínimo común múltiplo, N\mid x-y, de modo que x\equiv y \pmod N.

\square

Terminamos esta sección con un teorema que recopila todo lo que hemos mostrado para dos ecuaciones lineales.

Teorema 2. Consideremos el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}ax&\equiv b \pmod m\\cx&\equiv d \pmod n.\end{align*}

Si \text{MCD}(a,m) no divide a b o \text{MCD}(c,n) no divide a d, entonces el sistema no tiene solución. Si tenemos ambas divisibilidades, entonces el sistema original es equivalente al sistema

    \begin{align*}x&\equiv e \pmod {m'}\\x&\equiv f \pmod {n'},\end{align*}

donde e y f son las soluciones únicas a las reducciones de la primer y segunda congruencia respectivamente. Si \text{MCD}(m',n') no divide a e-f, entonces el sistema original no tiene solución. Si sí, entonces el sistema original tiene una única solución módulo \text{mcm}(m',n').

Ejemplo. Determina las soluciones al siguiente sistema lineal de ecuaciones:

    \begin{align*}4x&\equiv 12 \pmod {24}\\10x&\equiv 5 \pmod {75}.\end{align*}

Solución. Para la primera ecuación, notamos que \text{MCD}(4,24)=4 sí divide a 12 así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de x\equiv 3\pmod 6.

Para la segunda ecuación, notamos que \text{MCD}(10,75)=5 sí divide a 5 así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de 2x\equiv 1\pmod {15}. La solución de esta ecuación es x\equiv 8 \pmod {15}. De este modo, el sistema original es equivalente al sistema:

    \begin{align*}x&\equiv 3 \pmod {6}\\x&\equiv 8 \pmod {15}.\end{align*}


Tenemos que \text{MCD}(6,15)=3. Pero 3 no divide a 3-8=-5. Entonces este sistema no tiene solución, y por lo tanto el original tampoco.

\square

Hagamos un ligero cambio en el sistema de ecuaciones.

Ejemplo. Determina las soluciones al siguiente sistema lineal de ecuaciones:

    \begin{align*}4x&\equiv 20 \pmod {24}\\10x&\equiv 5 \pmod {75}.\end{align*}

Solución. Para la primera ecuación, notamos que \text{MCD}(4,24)=4 sí divide a 20 así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de x\equiv 5\pmod 6.

Para la segunda ecuación, notamos que \text{MCD}(10,75)=5 sí divide a 5 así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de 2x\equiv 1\pmod {15}. La solución de esta ecuación es x\equiv 8 \pmod {15}. De este modo, el sistema original es equivalente al sistema:

    \begin{align*}x&\equiv 5 \pmod {6}\\x&\equiv 8 \pmod {15}.\end{align*}


Tenemos que \text{MCD}(6,15)=3 y que 3 sí divide a 5-8=-3, de modo que sí hay solución. Para encontrarla, expresamos a -3 como combinación lineal de 6 y 15:

    \[5-8= -3 = (-3)\cdot 6 + 1\cdot 15.\]

De aquí, x=8+15=23 es una solución, y por lo tanto el conjunto de soluciones queda descrito módulo \text{mcm}(6,15)=30 de manera única como

    \[x\equiv 23 \pmod {30}\]

.

\square

El teorema chino del residuo

Varias de las ideas que usamos para un sistema de dos ecuaciones lineales las podemos reciclar para cuando queremos encontrar una x que satisfaga simultáneamente el sistema de ecuaciones lineales en congruencias

    \begin{align*}a_1x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\ a_2x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\&\vdots\\ a_nx&\equiv b_n\pmod {m_n}\end{align*}

Si este sistema tiene solución, entonces claramente:

  • Cada una de las ecuaciones debe tener solución y,
  • cada par de ellas debe tener solución.

Lo impresionante del siguiente teorema es que estas dos condiciones son las únicas que tenemos que verificar para que el sistema tenga solución. Y afortunadamente ya estudiamos cuándo dos ecuaciones lineales en congruencias tienen una solución simultánea.

Si cada una de las ecuaciones del sistema tiene solución, entonces es única, así que podemos remplazar cada ecuación por su solución y obtener un sistema de ecuaciones en donde todos los coeficientes de x son 1 (como le hicimos en el caso de dos ecuaciones). El siguiente resultado estudia estos sistemas.

Teorema 3. Sea n\geq 2 un entero, b_i enteros para i\in \{1,\ldots,n\} y m_i enteros positivos para i\in \{1,\ldots,n\}. El sistema de ecuaciones en congruencias

    \begin{align*}x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\ x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\&\vdots\\ x&\equiv b_n\pmod {m_n}\end{align*}


tiene solución si y sólo si para cada par de índices i y j en \{1,2,\ldots,n\} se tiene que la ecuación i y la ecuación j tienen solución, es decir, si y sólo si \text{MCD}(m_i,m_j)\mid b_i-b_j. En este caso, la solución es única módulo \text{mcd}(m_1,\ldots,m_n).

Demostración. Si el sistema completo tiene solución, entonces claramente cualquier par de ecuaciones tiene solución. Para demostrar la afirmación inversa, procederemos por inducción. Para n=2 la afirmación es directa, pues justo la hipótesis es que ese par de ecuaciones tiene solución.

Supongamos entonces el resultado cierto para cuando tenemos n ecuaciones y consideremos un sistema con n+1 ecuaciones

    \begin{align*}x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\ x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\&\vdots\\ x&\equiv b_n\pmod {m_n}\\ x&\equiv b_{n+1}\pmod {m_{n+1}}.\end{align*}

Supongamos que cualquier par de ellas tienen solución. Tenemos que mostrar que todo el sistema tiene solución y que es única módulo \text{mcm}(m_1,\ldots,m_{n+1}). Como cualquier par tienen solución, entonces cualquier par de las primeras n tienen solución. Por hipótesis inductiva, entonces podemos reemplazar a las primeras ecuaciones por una ecuación módulo N=\text{mcm}(m_1,\ldots,m_{n}), que es única por la unicidad en la hipótesis inductiva. En otras palabras, existe un entero c tal que el sistema de ecuaciones original es equivalente al sistema de ecuaciones

    \begin{align*}x&\equiv c \pmod N\\x&\equiv b_{n+1} \pmod {m_{n+1}}\end{align*}

Mostraremos ahora que este sistema tiene solución. Para esto, basta mostrar que \text{MCD}(N,m_{n+1}) divide a c-b_{n+1}.

Como c es solución del sistema para las primeras n ecuaciones, tenemos que c\equiv b_i\pmod {m_i} para toda i=1,\ldots, n, es decir, m_i\mid c-b_i. Por transitividad, \text{MCD}(m_{n+1},m_i)\mid c-b_i.

Como cualquier par de ecuaciones de las originales tenía solución, tenemos que \text{MCD}(m_{n+1},m_i)\mid b_i-b_{n+1}. De esta forma,

    \[\text{MCD}(m_{n+1},m_i)\mid -(c-b_i)-(b_i-b_{n+1})=b_{n+1}-c.\]

Con esto mostramos que cada \text{MCD}(m_{n+1},m_i) divide a b_{n+1}-c, de modo que el mínimo común múltiplo de estos números también divide a b_{n+1}-c. Pero el mínimo común múltiplo de estos números precisamente \text{MCD}(N,m_{n+1}).

En otras palabras, el sistema

    \begin{align*}x&\equiv c \pmod N\\x&\equiv b_{n+1} \pmod {m_{n+1}},\end{align*}

que es esquivalente al original, tiene una solución, y esta es única módulo

    \[\text{mcm}(N,m_{n+1})=\text{mcm}(m_1,\ldots,m_n,m_{n+1}).\]

Esto es justo lo que queríamos para dar el paso inductivo.

\square

Como corolario, obtenemos el teorema chino del residuo, que habla acerca de soluciones a sistemas de ecuaciones en los cuales los módulos que tomamos son primos relativos entre sí.

Teorema 4 (teorema chino del residuo). Sea n\geq 2 un entero, b_i enteros para i\in\{1,2,\ldots,n\} y m_i enteros positivos para i\in\{1,\ldots,n\}. Supongamos además que cada par m_i, m_j de enteros (i\neq j) son primos relativos. Entonces el sistema lineal de congruencias

    \begin{align*}x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\ x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\&\vdots\\ x&\equiv b_n\pmod {m_n}\end{align*}


tiene una y sólo una solución módulo m_1m_2\ldots m_n.

Demostración. Como cada pareja de módulos son primos relativos, tenemos que \text{MCD}(m_i,m_j)=1 y entonces claramente cada par de ecuaciones tiene solución. Por el Teorema 3, el sistema tiene solución y esta es única módulo el mínimo común múltiplo de m_1,\ldots,m_n, que como son primos relativos dos a dos, es m_1m_2\ldots m_n.

\square

La demostración del Teorema 3 también nos da un procedimiento para resolver de manera práctica los sistemas de ecuaciones lineales en congruencias:

  • Si los coeficientes de x del sistema no son 1, entonces primero resolvemos todas las ecuaciones con coeficiente distinto de 1 para transformarla en una del estilo de las del Teorema 3. Si alguna no se puede, entonces el sistema no tiene solución.
  • Una vez que el sistema está en la forma del Teorema 3, verificamos si cada par de ecuaciones tienen solución calculando los máximos comunes divisores de dos en dos y viendo que dividen a las restas respectivas. Si alguno de estos pares falla, entonces el sistema no tiene solución.
  • Si todos los pares cumplen la hipótesis, entonces resolvemos las primeras dos ecuaciones para remplazarlas por otra módulo su mínimo común múltiplo. Luego, usamos esa que obtuvimos y la tercera para remplazarlas por otra. Seguimos así hasta que sólo nos queden dos ecuaciones. La solución a esas será la solución al sistema original.

Ejemplo. Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:

    \begin{align*} x&\equiv 11 \pmod{5}\\ x&\equiv 5 \pmod{7}\\x&\equiv 7 \pmod{11}\end{align*}


Solución. Los números 5, 7 y 11 son primos relativos por parejas, de modo que la solución existe y es única módulo 5\cdot 7 \cdot 11= 385. Para encontrarla, primero resolvemos las primeras dos ecuaciones. Estas corresponden al sistema

    \begin{align*} x&\equiv 11\equiv 1 \pmod{5}\\ x&\equiv 5 \pmod{7}\end{align*}

Para encontrar la solución, ponemos a 1-5=-4 como combinación lineal de 5 y 7, que tras explorar un poco, se puede hacer así: 1-5=-4=2\cdot 5 + (-2)\cdot 7. De este modo, la solución es x\equiv 5-14 \equiv -9 \equiv 26 \pmod{35} (este es un buen momento para substituir en las dos ecuaciones originales y ver que todo vaya bien).

Así, el sistema original es equivalente al sistema

    \begin{align*} x&\equiv 26 \pmod{35}\\ x&\equiv 7 \pmod{11}\end{align*}

Ahora lo que tenemos que hacer es expresar a 26-7=19 como combinación lineal de 35 y 11. Es difícil encontrar una combinación «al tanteo», así que aquí es mejor usar el algoritmo de la división de Euclides:

    \begin{align*}35&=3\cdot 11 + 2\\11&=2\cdot 5 + 1\end{align*}

De aquí,

    \[1=11-2\cdot 5=11-(35-3\cdot 11)\cdot 5 = (-5)\cdot 35 +  16\cdot 11,\]

por lo que

    \[19=(-5\cdot 19)\cdot 35 + (19\cdot 16)\cdot 11=(-95)\cdot 35 + (304)\cdot 11.\]

Así, la solución al sistema está dada por x=7+304\cdot 11=3351\equiv 271 \pmod {385}.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que, en efecto, las soluciones que obtuvimos en el ejemplo después del Teorema 2 sí son soluciones de la ecuación original.
  • Cuando un sistema de dos ecuaciones en módulos m y n sí tiene solución, ¿cuántas soluciones módulo mn tiene?
  • Usando (\ldots) para máximo común divisor y [\ldots] para mínimo común múltiplo, demuestra que para cualesquiera enteros m_1,m_2,\ldots,m_n se tiene que

        \[([m_1,\ldots,m_n],m_{n+1})=[(m_1,m_{n+1}),\ldots,(m_n,m_{n+1})].\]

  • Verifica que las soluciones del último ejemplo en efecto satisfacen el sistema de ecuaciones inicial.
  • Problema. Demuestra que para cualquier entero n\geq 1 existen n enteros consecutivos tal que la factorización en primos de cada uno de ellos usa al menos dos primos diferentes.

Álgebra Superior II: Ejercicios de los teoremas de Fermat y de Wilson

Primero, un ejercicio más de congruencias:

Un ejercicio de congruencias

Un ejercicio utilizando el teorema de Fermat:

Ejercicio utilizando el teorema de Fermat

Ejercicio sencillo utilizando el Teorema de Wilson:

17!=1 (mod 19)

Otro ejercicio utilizando el Teorema de Wilson:

Si p primo, (p-1)! = -1 (mod p)

Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética modular

Introducción

En la entrada anterior hablamos de divisibilidad, máximo común divisor y combinaciones lineales enteras. Cuando hablamos de trabajar en artimética modular nos referimos a que tomamos un entero n y realizamos todas las operaciones «sólo en el mundo de n«, es decir, aplicando las operaciones únicamente en los residuos que deja un número al ser dividido entre n.

Cuando estamos trabajando módulo n, dos enteros a y b «son los mismos» si n divide a a-b. En este caso decimos que a\equiv b \pmod n, que se lee «a es congruente con b módulo n«.

En esta entrada de blog discutimos la relación «ser congruente con» y cómo se puede enunciar en términos de anillos. Ahí damos las demostraciones de varias de las propiedades que no probaremos aquí. Es recomendable por lo menos echarle un ojo.

Aritmética modular

Para recordar los principios básicos de la aritmética modular, comencemos con el siguiente problema.

Problema. Determina cuál es el residuo obtenido de dividir 1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 al dividirse entre 11.

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver este problema trabajando módulo 11.

Solución. Tenemos que 1305, 1302, 1314 y 1311 los podemos poner como un múltiplo de 13 más un residuo como sigue: 1300+5, 1300+2 y 1313+1, 1300+11. Así, 1305\equiv 5\pmod {13}, 1302\equiv 2 \pmod {13}, 1314\equiv 1 \pmod {13} y 1311\equiv 11 \pmod {13}. Así, trabajando módulo 1 tenemos que:

    \begin{align*}1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 &\equiv 5\cdot 2 + 1\cdot 11 \\&\equiv 10 + 11 \equiv 21 \\&\equiv 8 \pmod {13}\end{align*}


De esta forma, 1305\cdot 1302+1314\cdot 1311 deja residuo 8 al dividirse entre 13.

\square

Utilizando el algoritmo de la división, que vimos en la entrada anterior, se puede probar el siguiente resultado.

Proposición. Para cada entero a y entero positivo n, existe un único número r en \{0,1,\ldots,n-1\} tal que a\equiv r\pmod n, que es justo el residuo obtenido al dividir a entre n.

Dicho en otras palabras, sólo hay n posibles residuos al dividir entre n. Esto nos permite que las operaciones módulo n siempre las hagamos con números chiquitos, y que afirmaciones sencillas de divisibilidad entre n dependen sólo de n casos. Esto lo podemos aprovechar para resolver problemas como el siguiente.

Problema. Se tienen 13 números enteros. Muestra que hay tres de ellos a,b,c que satisfacen que

    \[1331\mid (a-b)(b-c)(c-a).\]

Sugerencia pre-solución. Notemos que 1331=11^3, así que trabajamos módulo 11. Encuentra todas las posibilidades que pueden tener los números cuadrados.

Solución. Un entero n sólo puede ser congruente con alguno de los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 módulo 11. Los cuadrados tienen entonces las siguientes posibilidades:

nn^2 \pmod {11}
00
11
24
39
416\equiv 5
525\equiv 3
636\equiv 3
7(-4)^2\equiv 5
89
94
101

A partir del 6 estamos aprovechando que ya conocemos los del 1 al 6 y que a \equiv a-11 \pmod {11}. Notemos que sólo hay 6 residuos posibles para los cuadrados módulo 11, que son 0, 1, 4, 9, 5 y 3.

Ahora sí, resolvamos el problema. Como tenemos 13 números enteros y sólo hay 6 posibles residuos para los cuadrados módulo 11, entonces por principio de las casillas hay tres de estos enteros cuyo cuadrado deja el mismo residuo al dividirse entre 11, digamos a,b,c. Como dejan los tres el mismo residuo, tenemos 11\mid a-b, 11\mid b-c y 11\mid c-a, de donde se sigue la conclusión que queremos.

\square

Últimos dígitos

Los últimos m dígitos de un entero n corresponden con el residuo de dividir n entre 10^m. Por esta razón, en este tipo de problemas es conveniente usar módulos.

Problema. Determina los últimos dos dígitos de 7^{25}+25^7.

Sugerencia pre-solución. Trabajamos módulo 100, así que todas las congruencias son módulo 100. Hay muchas formas de proceder para encontrar 7^{21}. Notemos que 7^{2}\equiv 49. y que

    \[7^4\equiv 49\times 49 = 2401 \equiv 1.\]

Esto es una gran ventaja, pues entonces 7^{24}\equiv (7^4)^6 \equiv 1^6 \equiv 1, así que 7^{25}\equiv 7.

Para 25^7, nos conviene notar que 25=20+5, de modo que

    \begin{align*}25^2&=(20+5)^2\\&=20^2+2\cdot 20 \cdot 5 + 25\\&\equiv 25,\end{align*}

pues los primeros dos sumandos son múltiplos de 100. De esta forma, 25^7\equiv 25. Así, 7^{25}+25^7\equiv 7+25\equiv 32, por lo que los dos últimos dígitos de la expresión son 32.

\square

Veamos otro ejemplo en el que además combinamos un poco de la teoría mencionada en la entrada anterior.

Problema. Demuestra que existe un entero que es múltiplo de 2002 y que tiene por lo menos 2002 dígitos iguales a 7.

Sugerencia pre-solución. Intenta hacer que los 2002 dígitos 7 que se necesitan aparezcan hacia el final. Esto te permitirá usar congruencias. Además, necesitarás el resultado de la entrada anterior que dice que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como combinación lineal entera de ellos.

Solución. Tomemos el número N=777\cdots770, en donde hay 2002 dígitos iguales a 7.

El máximo común divisor de 2002 y 10^{2003} es 2, de modo que existen enteros m y n tales que 2002m+10^{2003}n=2.

Multiplicando esta igualdad por el entero N/2, obtenemos que 2002\cdot \frac{mN}{2}+10^{2003}\frac{nN}{2}=N. Aplicando módulo 10^{2003} obtenemos que 2002\cdot \frac{mN}{2} \equiv N \pmod {10^{2003}}.

Como N<10^{2003}, esto nos dice que 2002\cdot \frac{mN}{2} es un múltiplo de 2002 cuyos últimos 2003 dígitos son los de N, es decir, que tiene por lo menos 2002 dígitos iguales a 7.

\square

Teorema chino del residuo

En algunos problemas necesitamos construir un entero que satisfaga un conjunto de congruencias. El teorema chino del residuo nos da una condición bajo la cual podemos garantizar la existencia de dicho número.

Teorema. Sea n\geq 2 un entero, b_i enteros para i\in\{1,2,\ldots,n\} y m_i enteros positivos para i\in\{1,\ldots,n\}. Supongamos además que cada par m_i, m_j de enteros (i\neq j) son primos relativos. Entonces el sistema lineal de congruencias

    \begin{align*}x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\ x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\&\vdots\\ x&\equiv b_n\pmod {m_n}\end{align*}


tiene una y sólo una solución módulo m_1m_2\ldots m_n.

El teorema tiene muchas aplicaciones tanto en resolución de problemas, como en matemáticas en general. Veamos un ejemplo.

Problema. ¿Será posible encontrar 5 enteros consecutivos tales que cada uno de ellos sea divisible entre un cubo distinto de 1?

Sugerencia pre-solución. Intenta construir el ejemplo usando el teorema chino del residuo con 5 módulos y en donde los b_i son consecutivos.

Solución. Por el teorema chino del residuo, existe un entero positivo n tal que

    \begin{align*}n&\equiv 0 \pmod{2^3}\\n&\equiv -1\pmod{3^3}\\n&\equiv -2\pmod{5^3}\\n&\equiv -3\pmod{7^3}\\n&\equiv -4\pmod{11^3}\end{align*}

Para este entero, se tiene que 2^3 divide a n, 3^3 divide a n+1, 5^3 divide a n+2, 7^3 divide a n+3 y 11^3 divide a n+4.

\square

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Hay otros dos teoremas que sirven cuando estamos trabajando módulo n, de los cuales hemos escrito aquí en el blog. Para empezar, aquí hay una entrada con videos de ejercicios de trabajar módulo n.

El teorema de Fermat y el de Wilson ayudan a entender potencias y factoriales, respectivamente. En la entrada sobre el teorema chino del residuo damos una demostración al teorema.

Álgebra Superior II: Ecuaciones en congruencias

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y de algunos teoremas que se pueden usar para trabajar con potencias y factoriales módulo un entero. Ya que tenemos un buen manejo de la aritmética en congruencias, podemos comenzar a hacernos preguntas acerca de las ecuaciones que pueden se plantear y resolver en estos términos.

Ejemplo. ¿Cuáles son las soluciones enteras a la ecuación x\equiv 3 \pmod 6?

Solución. Un número x satisface la ecuación si y sólo si 6 divide a x-3, lo cual sucede si y sólo si x es de la forma x=6r+3, donde r es un número entero. Así, el conjunto de soluciones es de la forma

    \[6\mathbb{Z}+3:= \{6r+3: r\in \mathbb{Z}\}.\]

Dicho de otra forma, el conjunto de soluciones es la clase de equivalencia del 3 módulo 6, es decir, [3]_6.

\square

Cuando tengamos ecuaciones más complicadas, usualmente lo que haremos es dejar expresada la solución en términos de congruencias, es decir, como uno o varios elementos de \mathbb{Z}_n. Si se quiere encontrar a todos los enteros (en \mathbb{Z}) que sean solución, basta recordar este ejemplo para expresar a las soluciones en \mathbb{Z}_n como conjuntos de soluciones en \mathbb{Z}.

Ejemplo. ¿Cuáles son las soluciones enteras a la ecuación 2x+1\equiv 0 \pmod 7?

Solución. Trabajemos módulo 7. Restando 1 de ambos lados obtenemos

    \[2x\equiv -1\equiv 6 \pmod 7.\]

Multiplicando por 4 de ambos lados tenemos que

    \[8x\equiv 24\equiv 3\pmod 7.\]

Como 8x\equiv x \pmod 7, tenemos que x\equiv 3 \pmod 7 es la solución.

\square

En el ejemplo anterior encontramos las soluciones módulo 7. Si queremos encontrar las soluciones en enteros, basta expresar esta congruencia en términos de enteros: las soluciones en \mathbb{Z} son los números de la forma 7r+3 con r entero.

Ecuaciones lineales en congruencias

Una ecuación lineal en congruencias es de la forma

    \[ax\equiv b\pmod n.\]

Vamos a estudiar esta ecuación, viendo cuándo tiene solución y cuántas soluciones módulo n tiene. Hay un caso fácil de estudiar, que es cuando a y n son primos relativos.

Proposición 1. Sean a,b enteros y n un entero positivo tales que \text{MCD}(a,n)=1. Entonces la ecuación

    \[ax\equiv b \pmod n\]

tiene una única solución x módulo n.

Demostración. Como a y n son primos relativos, a tiene un inverso multiplicativo módulo n, digamos a^{-1}. Afirmamos que x=a^{-1}b es solución. En efecto, a(a^{-1}b)\equiv 1\cdot b\equiv b \pmod n.

Ahora, afirmamos que la solución es única. Supongamos que x y y son solución. Tendríamos entonces que

    \[ax\equiv b \equiv ay \pmod n.\]

Multiplicando ambos extremos de esta ecuación por a^{-1}, tenemos que

    \[x\equiv a^{-1}ax\equiv a^{-1}a y \equiv y \pmod n.\]

\square

Sin embargo, como ya vimos antes, no siempre pasa que todo elemento tenga inverso multiplicativo. Necesitamos un análisis más detallado.

Notemos que x es solución de ax\equiv b\pmod n si y sólo si n divide a ax-b, lo cual sucede si y sólo si existe un entero y tal que ax-b=ny. Reordenando, tenemos que ax-ny=b. En otras palabras, la ecuación en congruencias tiene solución si y sólo si podemos expresar a b como combinación lineal entera de a y n, lo cual sucede si y sólo si

    \[b\in a\mathbb{Z} + n \mathbb{Z}=\text{MCD}(a,n)\mathbb{Z},\]

es decir, si y sólo si b es múltiplo del máximo común divisor de a y n. Resumimos esta primer parte del análisis en la siguiente proposición.

Proposición 2. Sean a,b enteros y n un entero positivo. La ecuación ax\equiv b\pmod n tiene solución si y sólo si \text{MCD}(a,n) divide a b.

Ahora, queremos entender cuántas soluciones diferentes hay módulo n.

Ejemplo. Encuentra todas las soluciones a la ecuación 4x\equiv 1 \pmod 8 y a la ecuación 4x\equiv 0 \pmod 8.

Solución. Tenemos que \text{MCD}(4,8)=4 y que 4 no divide a 1, así que la primer ecuación no tiene solución. Tenemos que 4 sí divide a 0, así que la segunda ecuación sí tiene solución. Veamos cuántas tiene.

Notemos que al multiplicar por 4 cada uno de los elementos 0,2,4,6 obtenemos respectivamente 0,8,16,24, que son todos múltiplos de 8, así que estos elementos de \mathbb{Z}_8 son solución. Al multiplicar 4 por 1,3,5,7 obtenemos 4,12,20,28, que módulo 8 son 4,4,4,4, así que ninguno de estos números son solución. Así, las soluciones son x\equiv 0,2,4,6\pmod 8.

\square

Una forma alternativa de expresar la solución del problema anterior es darse cuenta de que las soluciones en enteros son los números pares, o bien los enteros n tales que n\equiv 0\pmod 2. En general, cuando la solución existe, podemos encontrar un módulo en la que la podemos describir de manera única. Este es el contenido de las siguientes dos proposiciones.

Proposición 3. Sean a,b enteros y n un entero positivo tales que M=\text{MCD}(a,n) divide a b. Sean a'=a/M, b'=b/M y n'=n/M (con a', b', n' enteros). El entero x es solución a la ecuación en congruencias ax\equiv b \pmod n si y sólo si es solución a la ecuación en congruencias a'x\equiv b'\pmod {n'}.

Demostración. Tenemos que x es solución a ax\equiv b \pmod n si y sólo si existe una combinación lineal entera ax-ny=b. Al dividir entre M\neq 0, esto sucede si y sólo si a'x-n'y=b', lo cual sucede si y sólo si x es solución a la ecuación en congruencias a'x\equiv b'\pmod {n'}.

\square

Estamos listos para enunciar el resultado principal de esta sección. Viene de la combinación de las ideas anteriores.

Teorema 1. Sean a,b enteros y n un entero positivo. La ecuación ax\equiv b\pmod n tiene solución si y sólo si M:=\text{MCD}(a,n) divide a b. Cuando sí hay solución, ésta se puede expresar de manera única en módulo n':=n/M.

Demostración. La primer parte es la Proposición 2. Una vez que sabemos que la ecuación tiene solución, por la Proposición 3 podemos encontrar la ecuación equivalente a'x\equiv b'\pmod {n'}, en donde a'=a/M y b'=b/M. En esta ecuación, a' y n' son primos relativos (ver Tarea moral abajo). Por la Proposición 1, tiene una solución única módulo n'.

\square

Como empezamos con una ecuación módulo n, quizás queremos saber cuántas soluciones tiene módulo n, y no módulo n'. De manera inmediata, obtenemos el siguiente resultado.

Corolario. Con la notación del teorema anterior, cuando la ecuación tiene solución, entonces tiene M soluciones módulo n.

Ejercicio. Resuelve la ecuación lineal en congruencias

    \[12x\equiv 18 \pmod {30}.\]

Intenta resolver este ejercicio antes de ver la solución. Puedes comenzar calculando el máximo común divisor de 12 y 30.

Solución. El máximo común divisor de 12 y 30 es 6, que sí divide a 18. Entonces sí hay soluciones, y habrá 6 soluciones módulo 30. Para encontrar la ecuación reducida equivalente, dividimos entre 6 para obtener

    \[2x\equiv 3 \pmod 5.\]

El inverso de 2 módulo 5 es 3. Multiplicando en ambos lados por 3 obtenemos la solución

    \[x\equiv 9 \equiv 4 \pmod 5.\]

Para recuperar las soluciones módulo 30, a cada una de estas soluciones le sumamos 30/6=5 repetidamente para obtener las soluciones x\equiv 4, 9, 14, 19, 24, 29 \pmod {30}.

\square

En la siguiente entrada veremos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que tenemos más de una congruencia.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea a un entero y n un entero positivo. Sea M=\text{MCD}(a,n) y sean a'=a/M y n'=n/M. Muestra que \text{MCD}(a',n')=1.
  • Demuestra el corolario al Teorema 1.
  • Verifica que, en efecto, las soluciones que obtuvimos en el ejemplo después del Teorema 1 sí son soluciones de la ecuación original.
  • Diseña una ecuación lineal módulo 60 que tenga exactamente 15 soluciones módulo 60.
  • Para prepararte para la siguiente entrada, intenta resolver por completo el sistema de congruencias

    \begin{align*}x&\equiv -1 \pmod{77}\\x&\equiv -1 \pmod{55}\\\end{align*}