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Seminario de Resolución de Problemas: Problemas de cálculo variados

Introducción

En las entradas anteriores ya tratamos varios temas de cálculo y cómo se combinan con heurísticas para resolver problemas de cálculo. Veremos ahora otros problemas para repasar las técnicas que hemos aprendido hasta ahora y explorar algunas nuevas ideas.

Los primeros dos ejemplos son del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. Los últimos dos son de un concurso universitario: la Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas.

El método del factor de integración

Para resolver problemas de cálculo, también es útil tener algunas ideas de ecuaciones diferenciales. Un método muy útil en la resolución de problemas es el método de factor de integración, que ayuda a resolver ecuaciones diferenciales de la forma

$y'+a(x)y=b(x).$

La idea para resolver esta ecuación diferencial en $y$ (es decir, despejar a $y$ en términos de $a$ y $b$ ) es multiplicar ambos lados de la ecuación por $I(x)=e^{\int a(x)\, dx$ y observar que por regla de la cadena, la regla del producto y el teorema fundamental del cálculo, tenemos la ecuación diferencial equivalente

$(yI(x))' =I(x)b(x).$

De aquí, podemos integrar de ambos lados en un intervalo $[c,x]$ . Por el teorema fundamental del cálculo, existe una constante $C$ tal que

$yI(x)=\int_{c}^x I(t) b(t)\, dt + C,$

y ya de aquí podemos despejar

$y=I(x)^{-1}\left( \int_{c}^x I(t) b(t)\, dt + C\right).$

A $I(x)$ se le conoce como el factor de integración.

Problema. Sea $f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ una función diferenciable y supongamos que

$\lim_{x\to \infty} f(x)+f'(x) = 0.$

Muestra que

$\lim_{x\to 0} f(x) = 0.$

Sugerencia pre-solución. Define $g(x)=f(x)+f'(x)$ y usando el método de integración «despeja» a $f$ en términos de $g$ .

Solución. Definamos $g(x)=f(x)+f'(x)$ . La hipótesis dice que $\lim_{x\to 0} g(x) = 0$ , así que para obtener información de $f$ en términos de $g$ , podemos usar el método de factor de integración. Por la discusión antes de este párrafo, tenemos que

$f(x)=e^{-x}\int_a^x e^t g(t) \,dt + Ce^{-x}.$

Tomemos un $\epsilon>0$ . Como $g(x)\to 0$ cuando $x\to \infty$ , podemos tomar un $a$ tal que $|g(x)|<\epsilon$ para todo $x>a$ . Usando desigualdad del triángulo en sumas e integrales, tenemos que para $x>a$

$\begin{align*}|f(x)|&\leq e^{-x}\left|\int_a^x e^t g(t)\right|+|Ce^{-x}|\\&\leq e^{-x}\int_a^x e^t|g(t)|\, dt + |C|e^{-x}\\&\leq \epsilon e^{-x}\int e^t\, dt + |C|e^{-x}\\&=\epsilon e^{-x}(e^x-e^a)+|C|e^{-x}\\&=\epsilon(1-e^{a-x})+|C|e^{-x}\end{align*}$

Tenemos que $\lim_{x\to \infty} e^{a-x} = 0$ y que $\lim_{x\to \infty} e^{-x}=0$ , de modo que si $x$ es suficientemente grande, la expresión anterior nos dice $|f(x)|<2\epsilon$ . En otras palabras, $f(x)\to 0$ cuando $x\to \infty$ , como queríamos.

$\square$

Una integral con doble derivada

Problema. Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable que cumple $f(0)=f(1)=0$ y tal que $f(x)>0$ para $x$ en $(0,1)$ . Muestra que

$\int_0^1 \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \, dx \right| > 4.$

Sugerencia pre-solución. Tenemos ya varias técnicas para evaluar o estimar integrales. Si con un método llegas a una pared, intenta usar otro método. Necesitarás el teorema del valor extremo, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.

Solución. Por el teorema del valor extremo, existe un valor $c$ en $(0,1)$ tal que $y=f(c)$ es un máximo de $f$ . Por el teorema del valor medio, existen puntos $a$ en $(0,c)$ y $b$ en $(c,1)$ tales que

$f'(a)=\frac{f(c)-f(0)}{c}=\frac{y}{c}$

$f'(b)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{-y}{1-c}.$

Usando que $f$ alcanza su máximo $y$ en $c$

$\begin{align*}\int_0^1 \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \, dx \right|&\geq \int_a^b \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \, dx \right| \\&\geq \frac{1}{y} \int_a^b \left| f''(x) \, dx \right|,\end{align*}$

de modo que aplicando el teorema fundamental del cálculo a la última integral, obtenemos que

$\begin{align*} \int_0^1 \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \, dx \right| &\geq \frac{1}{y} \int_0^1 \frac{1}{y}|f'(b)-f'(a)|\\&=\frac{1}{y} \left|\frac{-y}{1-c}-\frac{y}{c}\right|\\&=\left|\frac{1}{c(1-c)}\right|.\end{align*}$

Para terminar, notamos que la función $h(x)=x(1-x)$ es diferenciable en $(0,1)$ y continua en $[0,1]$ , de modo que alcanza su máximo en $0$ , en $1$ o en donde la derivada $h'(x)=1-2x$ es $0$ , es decir, en $1/2$ . Tenemos que $h(1/2)=1/4$ y que $h(0)=h(1)=0$ , de modo que el máximo es $1/4$ . Con esto, concluimos que

$\left|\frac{1}{c(1-c)}\right| \geq 4,$

de donde se completa la cadena de desigualdades que queremos.

$\square$

En el problema anterior usamos el teorema del valor medio como paso intermedio. Es recomendable que pienses qué hubiera pasado si nos hubiéramos saltado este paso y hubiéramos usado el mínimo directamente, sin limitarnos primero al intervalo $[a,b]$ . En los problemas de cálculo a veces es muy importante el orden en el que se hacen las cosas.

Dos problemas de cálculo de competencias

Veamos ahora algunos problemas de cálculo que han aparecido en concursos a nivel universitario. El siguiente problema apareció en la Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas, en 2015, como Problema 4.

Problema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua y $\alpha$ un número real. Sabemos que $\lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} = \alpha$ . Muestra que para cualquier real positivo $r$ existen reales $x$ y $y$ tales que $y-x=r$ y $f(x)=f(y)$ .

Sugerencia pre-solución. Modifica el problema, construyendo una función que te ayude a resolverlo. Necesitarás el teorema del valor intermedio. También, una parte de la solución necesita que se use inducción.

Solución. Tomemos cualquier valor $r$ y consideremos la función $h(x)=f(x+r)-f(x)$ . Como $f$ es continua, la función $h$ es continua. Si $h(x)>0$ para todo real, entonces podemos mostrar inductivamente que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ tenemos que

$f(x-mr)<f(x)<f(x+r)<f(x+nr).$

Haciendo $n$ y $m$ ir a infinito, tendríamos que

$\alpha\leq f(x) < f(x+r) \leq \alpha,$

lo cual es una contradicción.

Así, $h(x)$ toma valores menores o iguales a $0$ . De modo similar, podemos mostrar que $h(x)$ toma valores mayores o iguales a $0$ . Como $h$ es continua, por el teorema del valor intermedio debe tomar el valor $0$ para algún $c$ , de modo que $f(c+r)-f(c)=h(c)=0$ y así, tomando $x=c$ y $y=c+r$ tenemos $y-x=r$ y

$f(y)=f(c+r)=f(c)=f(x).$

$\square$

El siguiente problema apareció en la Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas, en 2010, como Problema 4.

Problema. Sea $f:[0,1]\to [0,1]$ una función continua, creciente, diferenciable en $[0,1]$ y tal que $f'(x)<1$ en cada punto. La sucesión de conjuntos $A_1, A_2, \ldots$ se define recursivamente como $A_1=f([0,1])$ y para $n\geq 2$ , $A_n=f(A_{n-1})$ . Muestra que el diámetro de $A_n$ converge a $0$ conforme $n\to \infty$ .

El diámetro de un conjunto $X$ es $\sup_{x,y \in X} |x-y|}$ .

Sugerencia pre-solución. Para una primer parte del problema que te ayudará a entender a los $A_i$ , necesitarás el teorema del valor intermedio y el principio de inducción. Luego, necesitarás usar el teorema del valor medio y que las funciones continuas preservan límites de sucesiones convergentes.

Solución. Por conveniencia, nombramos $A_0=[0,1]$ . Sea $d_n$ el diámetro de $A_n$ . Tenemos $d_0=1$ . Como $f$ es creciente, tenemos que $f(0)<f(1)$ y que no hay ningún valor fuera del intervalo $[f(0),f(1)]$ que se tome. Como $f$ es continua, se toman todos esos valores. Así, $A_1=[f(0),f(1)]$ y su diámetro es $d_1=f(1)-f(0)$ . Inductivamente, podemos mostrar que $A_n= [f^n(0),f^n(1)]$ y que $d_n=f^{n}(1)-f^{n}(0)$ .

Notemos que la sucesión $f^{n}(0)$ es creciente y acotada, de modo que converge a un real $a$ . Como $f$ es contínua, tenemos que

$\begin{align*}f(a)&=f(\lim_{n\to \infty} f^{n}(0)) \\&= \lim_{n\to \infty} f^{n+1}(0) \\&= a.\end{align*}$

Análogamente, $f^n(1)$ converge a un real $b$ tal que $f(b)=b$ . Como $f^n(0)\leq f^n(1)$ , tenemos que $a\leq b$ . Afirmamos que $a=b$ . Si no, por el teorema del valor medio existiría un $c\in[a,b]$ tal que

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1,$

contradiciendo la hipótesis de la cota de la derivada.

Esto muestra que $a=b$ , y por lo tanto

$\begin{align*}\lim_{n\to \infty} d_n &= \lim_{n\to \infty} f^n(1)-f^n(0) \\&=b-a\\&= 0.\end{align*}$

$\square$

En este problema es muy importante primero mostrar que los extremos de los intervalos convergen a puntos fijos de $f$ y después usar el teorema del valor intermedio. Podría ser tentador usar el teorema del valor intermedio en cada intervalo $[f^n(0),f^n(1)]$ , pero con ello no se llega al resultado deseado.

Más problemas

En todas estas entradas hemos platicado acerca de problemas de temas de cálculo. Se pueden encontrar muchos más problemas de este tema en el Capítulo 6 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Además, puedes encontrar otros problemas resueltos en la sección de Material para practicar de este blog, que ayuda a prepararse para competencias internacionales de matemáticas a nivel universitario.

Seminario de Resolución de Problemas: La integral

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Introducción

Ya hemos cubierto varios temas de cálculo y resolución de problemas. Comenzamos platicando acerca de continuidad y de dos teoremas importantes para funciones continuas: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Después, hablamos acerca de derivadas y de dos teoremas importantes para funciones diferenciables: el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Luego, vimos que la diferenciabilidad también nos ayuda a encontrar límites de cocientes y potencias de formas indefinidas mediante la regla de L’Hôpital. En esta entrada y la siguiente hablaremos de la integral y cómo las ideas detrás de su construcción, así como sus propiedades, pueden ayudar a resolver problemas.

Para entender esta sección bien, es importante que conozcas la construcción de la integral de Riemann en una variable, así como sus propiedades principales. También supondremos que conoces las técnicas usuales para resolver integrales. Esto se hace durante el primer año de un curso de cálculo a nivel licenciatura. También puedes revisarlo en la literatura clásica, como el libro de Cálculo de Spivak.

Usar la integral como un área

La integral es por definición un límite de sumas superiores o inferiores. Hay problemas en los que podemos aprovechar esto para entender una suma o una sucesión. A grandes rasgos lo que hacemos es:

Interpretar la sucesión o serie como una suma de areas correspondiente a una suma superior o inferior de cierta integral $\int f(x) \,dx$ .
Usar lo que sabemos de integración para poder decir algo del área dada por $\int f(x)\, dx$
Regresar esta información al problema original.

Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Calcula el siguiente límite

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n-1}\right).$

La cantidad de términos de este límite depende de $n$ , así que no podemos hacerlos uno por uno. No hay una forma sencilla de hacer la suma. Tampoco parece que podamos usar la regla de L’Hôpital. Lo que haremos es entender a la expresión dentro del límite de manera geométrica.

Sugerencia pre-solución. Haz una figura con la que puedas relacionar el límite que buscamos con cierta área que puedas expresar en términos de una integral.

Solución. Consideremos la gráfica de la función $f(x)=\frac{1}{x}$ en el intervalo $[n,2n]$ y el área debajo de esta gráfica, que mostramos en verde a continuación.

Integral de 1/x en el intervalo de n a 2n. — Gráfica de $1/x$ en el intervalo $[n,2n]$

Notemos que la suma que aparece en el problemas corresponde a sumar las áreas de los rectángulos de base $1$ y alturas $\frac{1}{n}$ , $\frac{1}{n+1}$ , $\ldots$ , $\frac{1}{2n-1}$ , que podemos encontrar en azul en la siguiente figura.

Cota con suma superior — Dar una cota inferior para nuestra expresión.

Así, obtenemos que podemos acotar inferiormente nuestra suma de la siguiente manera:

$\begin{align*}\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1} &> \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\&= \log 2.\end{align*}$

De manera similar, podemos pensar ahora en rectángulos que queden por debajo de la gráfica de la función, y que en total su area es menor que el valor de la integral. Los mostramos a continuación en color rojo:

Cota con suma inferior — Dar una cota superior para nuestra expresión (un poco cambiada)

De aquí, podemos dar la siguiente cota:

$\begin{align*}\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n} &< \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\&= \log 2.\end{align*}$

Si juntamos ambas desigualdades, deducimos que

$\log 2< \frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1}<\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}\right) + \log 2.$

Ahora sí podemos hacer $n\to \infty$ . Como ambos lados de la desigualdad convergen a $\log 2$ , tenemos que la sucesión que nos interesa también debe converger a $\log 2$ .

$\square$

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

Hay varias técnicas que podemos usar para realizar integrales: cambio de variable, integración trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales, etc. En algunas ocasiones podemos transformar un problema a una integral, aplicar una de estas técnicas, y luego regresar al contexto original. Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Demuestra que para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$ tenemos que

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{k+m+1} = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} \frac{1}{k+n+1}.$

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente aprovechando que para cualquier entero no negativo $r$ se tiene que $\frac{1}{r+1}=\int_0^1 t^r \, dt$ . Tendrás que usar esto varias veces, usar la fórmula de binomio de Newton y después aprovechar una simetría para hacer un cambio de variable.

Solución. Notemos que

$\frac{1}{k+m+1}=\int_0^1 t^{k+m} \, dt.$

Substituyendo en la expresión de la izquierda, obtenemos que la suma buscada es

$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1t^{k+m}\, dt.$

Usando la linealidad de la integral y la fórmula del binomio de Newton tenemos que esta suma es igual a

$\begin{align*}&\int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n}{k} t^{k+m}\, dt \\=& \int_0^1 t^m(1-t)^n \, dt.\end{align*}$

Con el cambio de variable $s=1-t$ , la integral anterior es igual a

$\int_0^1 s^n(1-s)^m.$

Pero por un argumento inverso al que hicimos para llegar a la primer integral, esta segunda integral es igual a

$\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{m}{k}\frac{1}{k+n+1}.$

Esto es justo el lado derecho en la identidad que queríamos.

$\square$

El teorema de Lebesgue

No todas las funciones son integrables con la definición de Riemann (que aquí simplemente llamaremos «ser integrable»), pues puede ser que el límite de las sumas superiores no sea igual al de las sumas inferiores. Un resultado profundo en cálculo es el criterio de Lebesgue, que caracteriza aquellas funciones acotadas que tienen integral de Riemann en un intervalo.

Teorema (criterio de Lebesgue). Una función acotada $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades tiene medida $0$ .

El teorema de Lebesgue da una prueba sencilla de que si $f$ y $g$ son integrables, entonces su producto también, lo cual no es fácil de probar a partir de la definición. A continuación esbozamos esta prueba.

Las discontinuidades de $f^2$ están contenidas en las de $f$ , de modo que si $f$ es integrable, por el teorema de Lebesgue $f^2$ también. Además, suma y resta de integrables es sencillo ver que es integrable, de modo que $(f+g)^2$ también lo es. Para concluir, notamos que

$fg=\frac{(f+g)^2-f^2-g^2}{2},$

de modo que $fg$ es integrable.

Veamos un problema que combina varias de las ideas de cálculo que hemos visto.

Problema. Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función tal que $f+\sin(f)$ es integrable, entonces $f$ también es integrable.

Sugerencia pre-solución. Usa el criterio de Lebesgue. Necesitarás estudiar las discontinuidades con cuidado, para lo cual es útil recordar cómo interactúan las funciones continuas con las sucesiones convergentes.

Solución. Como $f+\sin(f)$ es integrable, entonces es acotada. Así, $f$ también lo es. La función $g(x)=x+\sin(x)$ tiene derivada $1+\cos(x)\geq 0$ y que es $0$ sólo en un conjunto discreto de puntos, de modo que es estrictamente creciente. Además, los límites en $-\infty$ y $\infty$ son $-\infty$ e $\infty$ respectivamente. Por el teorema del valor intermedio, pasa por todos los reales. Así, $g$ es una función biyectiva.

Mostraremos que las discontinuidades de $f$ están contenidas en las de $f+\sin(f)$ , o bien, dicho de otra forma, que si $f+\sin(f)$ es continua en $x$ , entonces $f$ también. Tomemos una sucesión $\{x_n\}$ que converge a $x$ . Como $f+\sin(f)$ es continua en $x$ , tenemos que $\{f(x_n)+\sin(f(x_n))\}$ converge a $f(x)+\sin(f(x))=g(f(x))$ .

Como $f$ es una función acotada, la sucesión $\{f(x_n)\}$ es acotada, y para ver que converge a un límite, basta ver que toda subsucesión convergente converge al mismo límite. Tomemos una subsucesión convergente digamos, al límite $L$ . Tendríamos que $g(L)=g(f(x))$ , y como $g$ es biyectiva tendríamos que $L=f(x)$ . En otras palabras, toda subsucesión convergente de $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$ . De esta forma, $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$ . Con esto concluimos que $f$ es continua en $x$ .

Concluimos que el conjunto de discontinuidades de $f$ está contenido en el de $f+\sin(f)$ , el cual tiene medida $0$ . De este modo, el de $f$ también tiene medida $0$ y por el criterio de Lebesgue, es integrable.

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la integral en la Sección 6.8 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: La regla de L’Hôpital

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Introducción

Como hemos visto en entradas anteriores, la noción de límite es fundamental en cálculo y ayuda a definir funciones continuas y funciones diferenciables. Un tipo de límite que aparece frecuentemente en problemas de cálculo involucra el cociente de dos expresiones cuyo límite no está determinado. La regla de L’Hôpital ayuda a trabajar con límites de este estilo.

Estamos familiarizados con esta regla debido a cursos de cálculo. De hecho, este resultado es una consecuencia directa del teorema del valor medio.

Como mencionamos arriba, esta regla resulta de utilidad para determinar límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ . En un primer acercamiento, si tenemos una función racional de la forma $\frac{f(x)}{g(x)}$ cuyo límite conforme $x\to c$ resulta en una indeterminación con las formas ya mencionadas, y además $f$ y $g$ son diferenciables cerca de $c$ , entonces para determinar el valor del límite basta con derivar por separado las funciones $f(x)$ y $g(x)$ y determinar el límite de $\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}$ , si este existe, entonces es igual al límite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ .

Por ejemplo, supongamos que queremos determinar $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ para $f$ y $g$ diferenciables cerca de $c$ y que tenemos

$\begin{align*}\lim_{x\to c} f(x)=0\\\lim_{x\to c} g(x)=0.\end{align*}$

Entonces, si

$\lim_{x \to c}\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}=L,$

tenemos que

$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L.$

Tenemos algo similar si $\lim_{x\to c} f(x)= \pm \infty$ y $\lim_{x\to c} g(x)= \pm \infty$ .

Aplicar la regla de L’Hôpital múltiples veces

En ocasiones es necesario aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez.

Problema. Determinar el $\lim_{x \to 0 }\frac{\cos^2(x)-1}{x^2}$ .

Sugerencia pre-solución. Intenta aplicar la regla de L’Hôpital de manera directa y verifica que tienes que aplicarla nuevamente.

Solución. Tenemos que al sustituir $x=0$ en la función $\frac{\cos^2(x)-1}{x^2}$ , nos resulta la indeterminación $\frac{0}{0}$ .

El numerados y denominador son diferenciables, así que aplicando la regla de L’Hôpital, el límite original es equivalente al siguiente límite

$\lim_{x \to 0 }\frac{(\cos^2(x)-1)^\prime}{(x^2)^\prime}= \lim_{x \to 0 }\frac{-2\cos(x)\sin(x)}{2x}$ ,

en donde de nuevo, al evaluar en $0$ , tenemos $0$ en el numerador y en el denominador.

Como volvemos a tener una indeterminación, volvemos a aplicar la regla. Sin embargo, antes de derivar, resulta conveniente modificar el límite aplicando la identidad trigonométrica

$\sin(2\theta)=2\sin\theta \cos\theta$

Así,

$\lim_{x \to 0 }\frac{-2\cos(x)\sin(x)}{2x}=\lim_{x \to 0 }\frac{-\sin(2x)}{2x}$

Aplicando la regla de L´Hôpital una vez más, tenemos que:

$\begin{align*}\lim_{x \to 0 }\frac{-\sin(2x)}{2x}&=\lim_{x \to 0 }\frac{(-\sin(2x))^\prime}{(2x)^\prime}\\&=\lim_{x \to 0 }\frac{-2\cos(2x)}{2}\\&=\frac{-2cos(0)}{2}\\&=-1\end{align*}$

$\square$

Aplicar la regla de L’Hôpital con exponentes

Otro tipo de limites que son de interés son aquellos cuyas indeterminaciones son $0^0$ , $\infty^0$ y $1^\infty$ , las cuales se obtienen de determinar el límite de funciones del estilo

$[f(x)]^{g(x)}$

Para resolver limites de funciones exponenciales, hay que hacer uso de las propiedades del logaritmo, para encontrar encontrar un problema equivalente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente problema.

Problema. Determinar el siguiente límite

$\lim_{x \to 0} (cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}.$

Sugerencia pre-solución. Aplica logaritmo a la expresión para encontrar una que puedas estudiar usando la regla de L’Hôpital.

Solución. Al evaluar $x=0$ en la función $(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}$ , nos resulta la indeterminación $1^\infty$ . Para transformar esta expresión en una que podamos estudiar con la regla de L’Hôpital, consideramos

$y=(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}},$

y tenemos que

$\ln(y)=\ln((\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}})=\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x)).$

Con lo que tendríamos la siguiente expresión para $y$

$y=e^{\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}.$

Así, usando la continuidad de la función exponencial, tenemos que

$\begin{align*}\lim_{x \to 0}y&=\lim_{x \to 0}e^{\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}\\&=e^{\lim_{x \to 0}\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}.\end{align*}$

De modo que nuestro problema se ha convertido en determinar el siguiente límite

$\lim_{x \to 0} \ln((\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}})=\lim_{x \to 0}\frac{3\ln(\cos(2x))}{x^2}.$

Notemos que el numerador y denominador evaluados en $0$ son cero. Con esto, tenemos una indeterminación como las que vimos al principio. Así que aplicando la regla de L’Hôpital, tenemos lo siguiente.

$\begin{align*}\lim_{x \to 0}\frac{3\ln(\cos(2x))}{x^2}&=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{-6\sin(2x)}{\cos(2x)}}{2x}\\&=\lim_{x \to 0}\frac{-3\tan(2x)}{x}\\&=\frac{0}{0}.\end{align*}$

La última igualdad se debe entender como que «tenemos una determinación de la forma $0/0$ «. Como volvemos a tener la indeterminación, aplicamos nuevamente la regla

$\begin{align*}\lim_{x \to 0}\frac{-3\tan(2x)}{x}&=\lim_{x \to 0}\frac{-6\sec^2(2x)}{1}\\&=\frac{-6\sec^2(2(0))}{1}\\&=-6\sec^2(0)=-6.\end{align*}$

Por lo tanto tenemos que

$\lim_{x \to 0} \ln((\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}})=-6.$

Así,

$\lim_{x \to 0} (\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}=e^{-6}.$

$\square$

Dos ejemplos más

Problema. Determina el siguiente límite

$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Solución. Tenemos que el límite nos resulta en la indeterminación $1^\infty$

Así que resulta conveniente considerar

$y=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Con lo que tendríamos que

$\begin{align*}\ln(y)&=\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\\&=n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right).\end{align*}$

Así que podemos reescribir a $y$ como

$y=e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Entonces, por la continuidad de la función exponencial, tenemos que

$\lim_{x \to \infty}y=e^{\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Ahora para calcular el límite $\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}$ , hacemos un cambio de variable $n\mapsto 1/n$ , de donde tenemos que

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)&=\lim_{n \to 0} \frac{\ln\left(1+n\right)}{n}\\&=\frac{0}{0}.\end{align*}$

Como nos resulta en una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , aplicando la regla de L’Hôpital tenemos que

$\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(n+1\right)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\frac{1}{n+1}}{1}=\frac{1}{1}=1.$

Por lo tanto

$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e.$

$\square$

En la siguiente solución ya no seremos tan explícitos con cada uno de los argumentos, sin embargo, hay que tener cuidado con que al usar la regla de L’Hôpital se satisfagan todas las hipótesis que se necesitan, y que los cambios de variable que hagamos se puedan hacer por continuidad.

Problema. Determina el siguiente límite

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n.$

Solución. Tenemos que este límite llega a una indeterminación, así que nos conviene expresar a la función como

$y=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^n.$

Así,

$\ln(y)=\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n,$

$y=e^{n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}.$

Entonces,

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=e^{\lim_{x \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)},$

por lo que nos enfocamos en encontrar el límite en el exponente. Fijándonos en el $\lim_{n \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}$ , tenemos que

$\begin{align*}\lim_{n \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}&=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}\\&=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1-\frac{1}{n+2}\right)}\end{align*}$

lo cual es equivalente al límite mediante el cambio de variable $n\mapsto 1/n$ a

$\lim_{n \to 0}\frac{1}{n}\ln\left(1-\frac{1}{\frac{1}{n}+2}\right)}=\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(1-\frac{n}{2n+1}\right)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)}{n}$

Además. tenemos que

$\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\ln(n+1)-\ln(2n+1)}{n}$

que tiene una indeterminación de la forma $0/0$ . Aplicando la regla de L’Hôpital tenemos que

$\lim_{n \to 0}\frac{\ln(n+1)-\ln(2n+1)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{2}{2n+1}}{1}=\lim_{n \to 0}\frac{\frac{-1}{(n+1)(2n+1)}}{1}=-1$

Por lo tanto

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}$

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación de la regla de L’Hôpital en la Sección 6.7 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor medio

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Introducción

Las funciones continuas son bonitas pues tienen la propiedad del valor intermedio y además alcanzan sus valores extremos. Las funciones diferenciables en un intervalo también tienen un par de teoremas que hablan acerca de algo que sucede «dentro del intervalo». Estos son el teorema de Rolle, del cual platicamos en la entrada anterior, y el teorema del valor medio. Ambos nos permiten encontrar en el intervalo un punto en el que la derivada tiene un valor específico.

Teorema de Rolle. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$ . Supongamos que $f(a)=f(b)$ . Entonces existe un punto $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$ .

Teorema del valor medio. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$ . Entonces existe un punto $c\in (a,b)$ tal que

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

En la entrada anterior vimos aplicaciones del teorema de Rolle a resolución de problemas matemáticos. En esta entrada hablaremos brevemente de la intuición geométrica del teorema del valor medio, de algunas de sus consecuencias inmediatas y de cómo usar al teorema y sus consecuencias para resolver problemas concretos.

La intuición geométrica del teorema del valor medio

El teorema del valor medio dice que una función diferenciable en $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ cumple que hay un punto $c$ tal que el valor de la derivada en $c$ es igual a la pendiente de la recta que une los puntos del plano $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ . En la siguiente figura, se marca en azul el punto $c$ en donde la pendiente de la tangente es lo que queremos, es decir, la pendiente entre los puntos rojos.

En varios problemas en los que se usa el teorema del valor medio, o bien en los cuales se pide demostrar enunciados parecidos a lo que dice el teorema del valor medio, es conveniente hacer una figura para entender la intuición geométrica del problema.

Consecuencias del teorema del valor medio

Si $f$ y $g$ son funciones continuas en $[a,b]$ y diferenciables en $(a,b)$ entonces se pueden deducir los siguientes resultados a partir del teorema del valor medio. No profundizamos en las demostraciones, y dejamos su verificación como un ejercicio de práctica.

Proposición. Si $f'(x)=0$ para toda $x$ en $(a,b)$ , entonces $f$ es constante.

Proposición. Si $f'(x)=g'(x)$ para toda $x$ en $(a,b)$ , entonces existe una constante $c$ tal que $f(x)=g(x)+c$ para toda $x$ .

Proposición. Si $f'(x)>0$ para toda $x$ en $(a,b)$ , entonces $f$ es una función estrictamente creciente. Si $f'(x)<0$ en $(a,b)$ , entonces $f$ es una función estrictamente decreciente.

Cuando $f'(x)\geq 0$ y $f'(x)\leq 0$ , tenemos resultados análogos que dicen que es no decreciente y no creciente, respectivamente.

Veamos algunas aplicaciones de los resultados anteriores.

Problema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ funciones tales que para todo par de reales $x$ y $y$ se cumple que

$|f(x)+g(y)-f(y)-g(x)|\leq (x-y)^2.$

Demuestra que $f$ y $g$ varían sólo por una constante aditiva.

Sugerencia pre-solución. Identifica cuál de las proposiciones anteriores puedes usar. Hay que tener cuidado con las hipótesis, pues en el enunciado no se habla de la diferenciabilidad de ninguna de las funciones involucradas.

Solución. Podría ser tentador usar la segunda proposición que enunciamos arriba, pero no tenemos hipótesis acerca de la diferenciabilidad de $f$ o de $g$ . Sin embargo, vamos a mostrar que sí se puede mostrar que $f-g$ es diferenciable en todo real, y que su derivada es $0$ en todo real. Para ello, definamos $h=f-g$ y notemos que la hipótesis dice que $|h(x)-h(y)|\leq (x-y)^2.$

A partir de aquí, notemos que por la hipótesis, para $x\neq y$ ,

$\frac{|h(y)-h(x)|}{|y-x|}\leq \frac{(y-x)^2}{|y-x|} = |y-x|,$

y el límite de esta última expresión conforme $y\to x$ es $0$ , de modo que

$\left|\lim_{y\to x} \frac{h(y)-h(x)}{y-x}\right|=\lim_{y\to x} \frac{|h(y)-h(x)|}{|y-x|} = 0.$

Esto muestra que para cualquier $x$ se tiene que $h$ es diferenciable en $x$ y su derivada es igual $0$ en todo $x$ . De este modo, $h$ es una función constante, y por lo tanto existe un $c$ tal que $f(x)=g(x)+c$ para todo $x$ .

$\square$

Veamos cómo el teorema del valor medio nos puede ayudar a demostrar desigualdades.

Problema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable tal que $f''(x)\geq 0$ para todo $x$ . Demuestra que para todo par de reales $a$ y $b$ con $a<b$ se tiene que

$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Sugerencia pre-solución. Haz una figura para convencerte de que el resultado es cierto. En el enunciado del problema, la función está siendo enunciada en tres valores, $a$ , $b$ y $\frac{a+b}{2}$ . Esto te dará una pista de dónde usar el teorema del valor medio.

Solución. Por el teorema del valor medio, existe un real $r$ en el intervalo $\left(a,\frac{a+b}{2}\right)$ para el cual

$\frac{f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\frac{a+b}{2}-a} = f'(r).$

De manera similar, existe un real $s$ en el intervalo $\left(\frac{a+b}{2},b\right)$ para el cual

$\frac{f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-\frac{a+b}{2}} = f'(s).$

Como $f''(x)>0$ para todo real $x$ , tenemos que $f'$ es una función creciente, y como $r<s$ , tenemos entonces que $f'(r)<f'(s)$ . De esta forma,

$\frac{f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\frac{a+b}{2}-a}<\frac{f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-\frac{a+b}{2}}.$

Notemos que el denominador de ambos lados es $\frac{b-a}{2}$ . Cancelando los denominadores y reacomodando los términos en esta desigualdad, obtenemos la desigualdad deseada.

$\square$

Problemas resueltos con el teorema del valor medio y otras técnicas

Veamos algunos problemas que combinan el teorema del valor medio con otras técnicas de solución de problemas.

Problema. Sea $f(x)$ una función diferenciable en $(0,1)$ y continua en $[0,1]$ con $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Muestra que existen puntos distintos $a,b,c,d$ en el intervalo $[0,1]$ tales que

$\frac{1}{f'(a)}+ \frac{1}{f'(b)} + \frac{1}{f'(c)} + \frac{1}{f'(d)} = 4.$

Sugerencia pre-solución. Para resolver el problema, hay que combinar el teorema del valor medio con el teorema del valor intermedio. El primer paso del problema es encontrar reales $p<q<r$ tales que $f$ valga en ellos $1/4$ , $2/4$ y $3/4$ .

Solución. Como $f(0)=0$ , $f(1)=1$ y $0<1/4<1$ , por el teorema del valor intermedio existe un real $p$ en $(0,1)$ tal que $f(p)=1/4$ . De manera similar, existe un real $q$ en $(p,1)$ tal que $f(q)=2/4$ y un real $r$ en $(q,1)$ tal que $f(r)=3/4$ .

Aplicando el teorema del valor medio a los intervalos $[0,p]$ , $[p,q]$ , $[q,r]$ y $[r,1]$ obtenemos reales $a,b,c,d$ respectivamente tales que

$\begin{align*}f'(a)&=\frac{f(p)-f(0)}{p-0}=\frac{1/4}{p}\\f'(b)&=\frac{f(q)-f(p)}{q-p}=\frac{1/4}{q-p} \\ f'(c)&=\frac{f(r)-f(q)}{r-q}=\frac{1/4}{r-q} \\ f'(d)&=\frac{f(1)-f(r)}{1-r}=\frac{1/4}{1-r}. \end{align*}$

Estos son los valores de $a,b,c,d$ que queremos pues

$\begin{align*} \frac{1}{f'(a)}+ \frac{1}{f'(b)} + \frac{1}{f'(c)} + \frac{1}{f'(d)} &= 4(1-r+r-q+q-p+p)\\&=4.\end{align*}$

$\square$

Problema. Sean $a$ , $b$ y $c$ números distintos. Muestra que la siguiente expresión

$\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-c)}$

no depende del valor de $x$ .

Sugerencia pre-solución. Encuentra la derivada de la expresión. Puedes aprovechar la simetría para hacer menos cuentas.

Solución. Usando la regla del producto, la derivada del primer sumando es

$\begin{align*}\frac{(x-a)+(x-b)}{(c-a)(c-b)}&=\frac{(2x-a-b)(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\&=\frac{2x(b-a)+a^2-b^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}.\end{align*}$

Por simetría, las derivadas de los otros dos términos tienen el mismo denominador que esta y en el numerador tienen, respectivamente,

$\begin{align*}&2x(c-b)+b^2-c^2\quad \text{y}\\&2x(a-c)+c^2-a^2,\end{align*}$

de modo que al sumar las tres expresiones obtenemos cero. Así, la derivada de la expresión es cero y por lo tanto es constante.

$\square$

Hay otro argumento para resolver el problema anterior, que usa teoría de polinomios. A grandes rasgos, la expresión es un polinomio de grado $2$ , que toma tres veces el valor $1$ , de modo que debe ser igual al polinomio constante $1$ .

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con el teorema del valor medio en la Sección 6.6 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema de Rolle

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Introducción

Las funciones continuas son bonitas pues tienen la propiedad del valor intermedio y además alcanzan sus valores extremos. Las funciones diferenciables en un intervalo también tienen un par de teoremas que hablan acerca de algo que sucede «dentro del intervalo». Estos son el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Ambos nos permiten encontrar en el intervalo un punto en el que la derivada tiene un valor específico.

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

El teorema del valor medio parece más general. Sin embargo, en cierto sentido, estos dos teoremas son «equivalentes», en el sentido de que uno de ellos nos ayuda a probar al otro de manera fácil, y viceversa.

Ya dimos las demostraciones de ambos teoremas en la entrada anterior, que habla del teorema del valor extremo. En esta entrada nos enfocaremos en ver cómo podemos usar el teorema de Rolle para resolver problemas. En la siguiente veremos algunos ejemplos del uso del teorema del valor medio.

Problemas resueltos con teorema de Rolle

Hay algunos problemas que parece que pueden ser resueltos con el teorema del valor intermedio (el de funciones continuas), pero para los cuales no es sencillo encontrar un intervalo correcto en el cual aplicar el teorema. En estas ocasiones, a veces el teorema de Rolle puede entrar al rescate.

Problema. Muestra que $5x^4-4x+1$ tiene una raíz real entre $0$ y $1$ .

Sugerencia pre-solución. Primero, convéncete de que no es sencillo resolver este problema usando el teorema del valor intermedio. Luego, escribe a la función como la derivada de otra y aplica el teorema de Rolle. Funciona trabajar hacia atrás: si $f$ es derivada de una función, ¿quién tendría que ser esta función?

Solución. La idea es expresar a $f(x)=5x^4-4x+1$ como la derivada de una función y aplicar el teorema de Rolle. Para ello, podemos integrar o verificar por inspección que si $g(x)=x^5-2x^2+x$ , entonces $g'(x)=f(x)$ . Ahora, notemos que $g(0)=g(1)=0$ . Por el teorema de Rolle, debe existir un $c$ en $(0,1)$ tal que $f(c)=g'(c)=0$ , es decir, esta $c$ es justo una raíz de $f$ , como queríamos.

$\square$

En algunas ocasiones hay que aplicar el teorema del valor medio repetidas veces dentro de un mismo problema.

Problema. Demuestra que $f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+bx+c$ puede tener como mucho dos ceros el intervalo $[-1,1]$ , sin importar los valores de $b$ y de $c$ .

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que hay más de dos ceros. Aplica el teorema del valor medio dos veces.

Solución. Supongamos que $f$ tiene tres o más ceros en ese intervalo, y que son $r,s,t$ , con $-1\leq r < s < t < 1$ . Tenemos que $f(r)=f(s)$ y que $f(s)=f(t)$ , pues estos tres valores son $0$ . Por el teorema de Rolle, tenemos que $f'(x)=x^3-3x+b$ debe tener al menos un cero $p$ en el intervalo $(r,s)$ y al menos un cero $q$ en el intervalo $(s,t)$ . Aplicando de nuevo el teorema de Rolle, tenemos que $f''(x)=3x^2-3$ debe tener un cero en el intervalo $(p,q)$ . Pero $-1<p<q<1$ y $f''(x)$ sólo tiene como ceros a $1$ y $-1$ . Esto es una contradicción.

$\square$

Veamos un ejemplo más, en donde es necesario aplicar el teorema de Rolle varias veces y usar otras propiedades de diferenciabilidad.

Problema. Supongamos que la funciónes $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son diferenciables y que $f'(x)g(x)\neq f(x)g'(x)$ para todo real $x$ . Muestra que si $f(x)=0$ tiene al menos $2020$ soluciones distintas, entonces $g(x)=0$ tiene al menos $1010$ soluciones distintas.

Sugerencia pre-solución. Modifica el problema y generalízalo de la siguiente manera: bajo las hipótesis del problema, se tiene que entre cualesquiera dos ceros de $f$ hay un cero de $g$ . Para demostrar esto, procede por contradicción.

Solución. Mostraremos que entre cualesquiera dos ceros de $f$ hay un cero de $g$ . Para ello, procedamos por contradicción. Supongamos $a<b$ son ceros de $f$ y que $g$ no tiene ningún cero en el intervalo $[a,b]$ .

Consideremos la función $f/g$ . Como $g$ no se anula en $[a,b]$ , tenemos que $f/g$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ . Además, $f(a)/g(a)=f(b)/g(b)=0$ . Con esto, por el teorema de Rolle tendríamos que la derivada de $f/g$ en algún punto $c$ en $(a,b)$ es cero. Pero esto es una contradicción, pues la derivada en $c$ es

$\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g^2(c)}},$

que por hipótesis nunca es $0$ . De esta forma, entre cualesquiera dos ceros de $f$ debe haber un cero de $g$ .

Para resolver el problema original, consideremos los $2020$ ceros que tiene $f$ , digamos $a_1<\ldots<a_{2020}$ . En cada uno de los intervalos $[a_{2i-1},a_{2i}]$ para $i=1,\ldots,1010$ debe haber un cero de $g$ , y como estos son intervalos disjuntos, estos deben ser ceros distintos. De este modo, tenemos al menos $1010$ ceros de $g$ .

$\square$

Más problemas

Hay más problemas en los que se usa el teorema de Rolle en la Sección 6.5 el libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

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