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Seminario de Resolución de Problemas: El teorema espectral y matrices positivas

Introducción

En esta entrada hablaremos de matrices simétricas y de matrices positivas. Nos enfocaremos en el caso en el que sus entradas sean números reales. Ambos tipos de matrices son fundamentales en la teoría de álgebra lineal. Tanto para las matrices simétricas como para las positivas hay resultados de caracterización que podemos utilizar en varios problemas matemáticos.

El teorema espectral para matrices simétricas reales

Si A es una matriz de m\times n, su transpuesta ^tA es la matriz de n\times m que se obtiene de reflejar a las entradas de A en su diagonal principal. Otra forma de decirlo es que si en términos de entradas tenemos A=[a_{ij}], entonces ^tA=[a_{ji}]. Una matriz y su transpuesta comparten muchas propiedades, como su determinante, su polinomio característico, su rango, sus eigenvalores, etc.

Decimos que una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta. Una matriz es ortogonal si es invertible y ^tA = A^{-1}. Las matrices simétricas y ortogonales con entradas reales son muy importantes y cumplen propiedades bonitas.

Teorema (teorema espectral). Si A es una matriz de n\times n con entradas reales y simétrica, entonces:

  • Sus eigenvalores \lambda_1,\ldots,\lambda_n (contando multiplicidades), son todos reales.
  • Existe una matriz ortogonal P de n\times n y con entradas reales tal que si tomamos a D la matriz diagonal de n\times n cuyas entradas en la diagonal principal son \lambda_1,\ldots,\lambda_n, entonces

        \[A=P^{-1}DP.\]

No todas las matrices se pueden diagonalizar. Cuando una matriz sí se puede diagonalizar, entonces algunas operaciones se hacen más sencillas. Por ejemplo si A=P^{-1}DP como en el teorema anterior, entonces

    \begin{align*}A^2&=(P^{-1}DP)(P^{-1}DP)\\&=P^{-1}DDP\\&=P^{-1}D^2P,\end{align*}

y de manera inductiva se puede probar que A^k=P^{-1}D^kP. Elevar la matriz D a la k-ésima potencia es sencillo, pues como es una matriz diagonal, su k-ésima potencia consiste simplemente en elevar cada una de las entradas en su diagonal a la k.

Problema. Sea A una matriz de n\times n simétrica y de entradas reales. Muestra que si A^k = O_n para algún entero positivo k, entonces A=O_n.

Sugerencia pre-solución. La discusión anterior te permite enunciar la hipótesis en términos de los eigenvalores de A. Modifica el problema a demostrar que todos ellos son cero.

Solución. Como A es simétrica y de entradas reales, entonces sus eigenvalores \lambda_1,\ldots, \lambda_n son reales y es diagonalizable. Digamos que su diagonalización es P^{-1} D P. Tenemos que

    \[O_n = A^k = P^{-1} D^k P.\]

Multiplicando por la matriz P a la izquierda, y la matriz P^{-1} a la derecha, tenemos que D^k=O_n. Las entradas de D^k son \lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k, y la igualdad anterior muestra que todos estos números son iguales a cero. De este modo,

    \[\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0.\]

Concluimos que D=O_n, y que por lo tanto A=P^{-1} O_n P = O_n.

\square

Veamos ahora un bello problema que motiva una fórmula para los números de Fibonacci desde la teoría del álgebra lineal.

Problema. Toma la matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Calcula las primeras potencias de A a mano. Conjetura y muestra cómo es A^n en términos de la sucesión de Fibonacci. A partir de esto, encuentra una fórmula para el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Sugerencia pre-solución. Para empezar, haz las primeras potencias y busca un patrón. Luego, para la demostración de esa parte, procede por inducción. Hay varias formas de escribir a la sucesión de Fibonacci, usa una notación que sea cómoda.

Solución. Al calcular las primeras potencias de la matriz A obtenemos:

    \begin{align*}A&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\\A^2&=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\\A^3&=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\  2& 3 \end{pmatrix},\\A^4&=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},\\A^5&=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}.\end{align*}

Al parecer, en las entradas de A van apareciendo los números de Fibonacci. Seamos más concretos. Definimos F_0=0, F_1=1 y para n\geq 0 definimos

    \[F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}.\]

La conjetura es que para todo entero n\geq 1, se tiene que

    \[A^n=\begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n \\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}.\]

Esto se puede probar por inducción. Arriba ya hicimos el caso n=1. Supongamos la conjetura cierta hasta un entero n dado, y consideremos la matriz A^{n+1}. Tenemos haciendo el producto de matrices, usando la hipótesis inductiva y la recursión de Fibonacci, que

    \begin{align*}A^{n+1}&=AA^n\\& =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n \\ F_n & F_{n+1} \end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1} \\ F_{n-1} + F_n & F_n + F_{n+1} \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} F_n & F_{n+1} \\ F_{n+1} & F_{n+2} \end{pmatrix}.\end{align*}

Esto termina el argumento inductivo y prueba la conjetura.

Para encontrar una fórmula para los Fibonaccis, lo que haremos ahora es usar el teorema espectral. Esto lo podemos hacer pues la matriz A es de entradas reales y simétrica. Para encontrar la matriz diagonal de la factorización, necesitamos a los eigenvalores de A. Su polinomio característico es

    \[\begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ - 1 & \lambda -1 \end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda -1.\]

Usando la fórmula cuadrática, las raíces de este polinomio (y por tanto, los eigenvalores de A) son

    \[\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.\]

Por el momento, para simplificar la notación, llamemos \alpha a la de signo más y \beta a la raíz de signo menos. Por el teorema espectral, existe una matriz invertible P de 2\times 2 tal que

    \[A=P^{-1}\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} P.\]

De esta forma,

    \[A^n =  P^{-1}\begin{pmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{pmatrix} P.\]

Aquí no es tan importante determinar concretamente P ni realizar las cuentas, sino darnos cuenta de que tras realizarlas cada entrada será una combinación lineal de \alpha^n y \beta^n y de que los coeficientes de esta combinación lineal ya no dependen de n, sino sólo de las entradas de P. En particular, la entrada superior derecha de A^n por un lado es F_n, y por otro lado es r\alpha^n + s\beta ^n.

¿Cómo obtenemos los valores de \alpha y \beta? Basta substituir n=1 y n=2 para obtener un sistema de ecuaciones en \alpha y \beta. Aquí abajo usamos que como \alpha y \beta son raíces de x^2-x-1, entonces \alpha^2=\alpha+1, \beta^2=\beta+1 y \alpha+\beta = 1.

    \[\begin{cases}1= F_1 = r \alpha + s \beta \\1= F_2 = r \alpha^2 + s \beta^2 = r + s + 1.\end{cases}\]

De aquí, obtenemos la solución

    \begin{align*}r&=\frac{1}{\alpha-\beta} = \frac{1}{\sqrt{5}}\\s&=-r = -\frac{1}{\sqrt{5}}.\end{align*}

Finalmente, todo este trabajo se resume a que una fórmula para los números de Fibonacci es

    \[F_n=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}.\]

\square

Matrices positivas y positivas definidas

Por definición, una matriz simétrica A de n\times n con entradas reales es positiva si para cualquier vector (columna) v en \mathbb{R}^n se tiene que

    \[^t v A v \geq 0.\]

Aquí ^tv es la transposición de v, es decir, el mismo vector, pero como vector fila.

Si además la igualdad se da sólo para el vector v=0, entonces decimos que A es positiva definida. Un ejemplo sencillo de matriz positiva es la matriz A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}, pues para cualquier vector v=(x,y) se tiene que

    \[^t v A v = x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\geq 0.\]

Sin embargo, esta matriz no es positiva definida pues la expresión anterior se anula en vectores no cero como (1,1). Como puedes verificar, un ejemplo de matriz positiva definida es

    \[B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.\]

Las matrices reales que son positivas definidas son importantes pues caracterizan todos los productos interiores en \mathbb{R}^n. Una vez que se tiene un producto interior en un espacio vectorial de dimensión finita, se pueden aprovechar muchas de sus propiedades o consecuencias, por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la existencia de bases ortogonales para hacer descomposiciones de Fourier.

Para cuando se quieren resolver problemas, es muy útil conocer varias equivalencias de que una matriz sea positiva.

Equivalencias para matrices positivas

El siguiente resultado enuncia algunas de las equivalencias para que una matriz sea positiva

Teorema. Sea A una matriz simétrica. Entonces todas las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. A es positiva.
  2. Todos los eigenvalores de A son no negativos.
  3. A=B^2 para alguna matriz simétrica B en M_n(\mathbb{R}).
  4. A= {^tC} C para alguna matriz C en M_n(\mathbb{R}).

Hay un resultado análogo para cuando se quiere determinar si una matriz A es positiva definida. En ese caso, los eigenvalores tienen que ser todos positivos. Para los puntos 3 y 4 se necesita además que B y C sean invertibles.

Problema. Sea A una matriz de n\times n con entradas reales, simétrica y positiva. Muestra que si

    \[\text{tr}(A) = n \sqrt[n]{\det(A)},\]

entonces A conmuta con cualquier matriz de n\times n.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás usar que matrices similares tienen la misma traza y el mismo determinante, o una versión particular para este problema.

Solución. Las siguientes son propiedades de la traza y el determinante:

  • El determinante de una matriz diagonal es el producto de las entradas en su diagonal.
  • Si tenemos dos matrices similares, entonces tienen la misma traza.

En particular, las hipótesis implican, por el teorema espectral, que A se puede diagonalizar con matrices A=P^{-1} D P, donde D es la matriz diagonal que tiene en su diagonal principal a los eigenvalores \lambda_1,\ldots,\lambda_n de A, y P^{-1} es una matriz invertible. Como A y D son similares, se tiene que

    \begin{align*}\text{tr}(A)=\text{tr}(D)=\lambda_1+\ldots+\lambda_n\\\det(A)=\det(D)=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n.\end{align*}

Como A es positiva, entonces todos sus eigenvalores son no negativos, así que satisfacen la desigualdad MA-MG:

    \[\frac{\lambda_1+\ldots+\lambda_n}{n} \geq \sqrt[n]{\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n}.\]

Por la última hipótesis del problema, esta desigualdad es de hecho una igualdad. Pero la igualdad en MA-MG se alcanza si y sólo si todos los números son iguales entre sí. Tenemos entonces que todos los eigenvalores son iguales a un cierto valor \lambda, y entonces D=\lambda I_n. Como cualquier múltiplo escalar de la matriz identidad conmuta con cualquier matriz de n\times n, tendríamos entonces que

    \begin{align*}A&=P^{-1}D P \\&=P^{-1}(\lambda I_n) P\\&=(\lambda I_n) (P^{-1}P)\\&=\lambda I_n.\end{align*}

Con esto probamos que A es de hecho un múltiplo de la matriz identidad, y por lo tanto conmuta con cualquier matriz de n\times n.

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Más problemas

Puedes encontrar más problemas del teorema espectral, de formas y matrices positivas en la Sección 10.2 y la Sección 10.8 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Seminario de Resolución de Problemas: Cálculo de determinantes

Introducción

Una de las habilidades fundamentales que hay que desarrollar para resolver problemas de álgebra lineal es el cálculo de determinantes. Como vimos en la entrada anterior, conocer el determinante de una matriz nos permite saber si es invertible. Así mismo, los determinantes permiten encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales, y más adelante veremos que están relacionados con el rango. Además, los determinantes juegan un papel muy importante en otras áreas de las matemáticas, como cálculo y teoría de gráficas.

Todo parte de la siguiente definición:

Definición. Para una matriz A de n \times n con entradas reales A=[a_{ij}], el determinante de A es

    \[\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},\]

donde la suma se hace sobre todas las permutaciones (funciones biyectivas) \sigma de \{1,\ldots,n\} a sí mismo y \text{sign}(\sigma) es el signo de la permutación.

A \det A también lo escribimos a veces en notación de «matriz con barras verticales» como sigue:

    \begin{align*}\det A = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\vdots & & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}.\end{vmatrix}.\end{align*}

La definición permite mostrar de maneras muy elegantes las propiedades que cumplen los determinantes, pero no es nada práctica para cuando se quieren hacer las cuentas. Como la suma se hace sobre todas las permutaciones \sigma de un conjunto de n elementos, si quisiéramos calcular determinantes por definición se tendrían que hacer n! productos, y luego sumar todos estos resultados.

Por esta razón, es muy importante encontrar otras formas de evaluar determinantes. Para empezar, esta entrada hará referencia a dos enlaces del blog en los que se discuten las propiedades básicas de determinantes. Luego, se hablará de dos tipos especiales de determinantes: los de Vandermonde y los de matrices circulantes.

Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Lo primero y más importante es que conozcas las teoría básica para cálculo de determinantes. Aquí en el blog hay una entrada que sirve justo para conocer las propiedades y técnicas principales para encontrar determinantes.

Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Además, es también muy importante que sepas calcular determinantes usando la expansión de Laplace. En la siguiente entrada puedes ver el enunciado de la técnica, y cómo se usa en varios ejemplos:

Problemas de cálculo de determinantes

Para fines de este curso, es importante que revises esas entradas. Puedes saltarte las demostraciones de los resultados principales, pero presta atención a cómo se usan en cada uno de los problemas.

Las siguientes secciones presentan técnicas avanzadas que a veces resultan útiles. Sin embargo, tómalas como temas optativos, dando prioridad a primero dominar los básicos.

Determinantes de Vandermonde

Teorema (determinante de Vandermonde). Sean a_1,\ldots,a_n números reales. El determinante de la matriz de Vandermonde

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1&a_1 & a_1^2 & \ldots & a_1^{n-1}\\1 & a_2 & a_2^2 & \ldots & a_2^{n-1}\\1&a_3 & a_3^2 & \ldots & a_3^{n-1}\\\vdots& & & \ddots & \vdots\\1& a_n & a_n^2 & \ldots & a_n^{n-1}\\\end{pmatrix}\end{align*}

es igual a

    \[\prod_{1\leq i < j \leq n} (a_j-a_i).\]

Ejemplo. La matriz

    \[\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{pmatrix}\]

es una matriz de Vandermonde, así que su determinante es

    \[(b-a)(c-a)(c-b).\]

\square

Veamos un problema en el que aparece una matriz de Vandermonde.

Problema. Sean a, b y c reales distintos de 0. Muestra que el determinante de

    \[\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2\\ c^2& a^2 & b^2 \\ ca & ab & bc \end{vmatrix}\]

es

    \[(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab).\]

Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente usando propiedades de determinantes para que quede un determinante del tipo de Vandermonde. Aprovecha la simetría para ahorrar algunas cuentas.

Solución. Como el determinante es homogéneo en cada columna, podemos factorizar a^2 de la primera, b^2 de la segunda y c^2 de la tercera para obtener que

    \begin{align*}\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2\\ c^2& a^2 & b^2 \\ ca & ab & bc \end{vmatrix} &= (abc)^2 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ \frac{c^2}{a^2}& \frac{a^2}{b^2} & \frac{b^2}{c^2} \\ \frac{c}{a} & \frac{a}{b} & \frac{b}{c} \end{vmatrix}\\&=-(abc)^2 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ \frac{c}{a} & \frac{a}{b} & \frac{b}{c} \\ \frac{c^2}{a^2}& \frac{a^2}{b^2} & \frac{b^2}{c^2} \end{vmatrix}.\end{align*}

Aquí también usamos que al intercambiar dos filas (o columnas), el determinante de una matriz cambia de signo.

Una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta, y la transpuesta de esta última matriz es de Vandermonde, de modo que

    \[-(abc)^2 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ \frac{c}{a} & \frac{a}{b} & \frac{b}{c} \\ \frac{c^2}{a^2}& \frac{a^2}{b^2} & \frac{b^2}{c^2} \end{vmatrix} = -(abc)^2 \left(\frac{a}{b}-\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{c}-\frac{a}{b}\right).\]

Vamos a partir esta última expresión en factores simétricos. Tenemos que

    \[ab\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{a}\right)=a^2-bc.\]

De manera similar, tenemos también

    \[-ca\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)=c^2-ab\]

y

    \[bc\left(\frac{b}{c}-\frac{a}{b}\right)=b^2-ac.\]

Así, concluimos que

    \[\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2\\ c^2& a^2 & b^2 \\ ca & ab & bc \end{vmatrix}= (a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab).\]

\square

Determinantes de matrices circulantes

Teorema (determinantes circulantes) Sean a_1,\ldots, a_n números reales. El determinante de la matriz circulante

    \begin{align*}\begin{pmatrix}a_1& a_n & a_{n-1} & \ldots & a_2\\a_2&a_1& a_{n}& \ldots & a_3\\a_3 & a_2& a_1& \ldots & a_4\\\vdots& & & \ddots & \vdots\\a_n& a_{n-1} & a_{n-2} &\ldots & a_1.\end{pmatrix}\end{align*}

es

    \[\prod_{j=0}^{n-1} (a_1 + a_n \omega_j + a_{n-1} \omega_j^2 + \ldots + a_2 \omega_j^{n-1}),\]

en donde \omega_j es la n-ésima raíz de la unidad dada por \omega_j:= e^{j \cdot \frac{2\pi i}{n}}.

Ejemplo. La matriz

    \[\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}\]

es una matriz circulante, así que su determinante es

    \[(a+b+c)(a+\omega b + \omega^2 c)(a+\omega^2 b+ \omega c),\]

donde \omega es la raíz cúbica de la unidad de argumento positivo mínimo.

\square

El siguiente problema apareció en la tercera edición de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria. El enunciado en esa ocasión fue un poco distinto, pero lo adaptamos a la notación de esta entrada.

Problema. Sea n\geq 3 un entero Muestra que el determinante de la matriz circulante en donde a_1=a_n=a_{n-1}=1 y a_2=\ldots=a_{n-1}=0 es 3 si n no es un múltiplo de 3 y es 0 si n es un múltiplo de 3.

Sugerencia pre-solución. Para empezar, aplica el teorema de determinantes de matrices circulantes. Luego, necesitarás además un argumento de polinomios y de números complejos.

Solución. Para empezar, llamemos A_n a la matriz del problema. Como A_n es una matriz circulante, su determinante es

    \[\det(A_n) = \prod_{j=0}^{n-1} (1 + \omega_j + \omega_j^2).\]

El polinomio 1+x+x^2 se factoriza como (\eta-x)(\eta^2-x), donde \eta es la raíz cúbica de la unidad de argumento positivo mínimo. De esta forma, podemos reescribir al determinante de A_n como

    \[\det(A_n) = \prod_{j=0}^{n-1} (\eta-\omega_j)(\eta^2-\omega_j).\]

El polinomio h(x)=x^n-1 se factoriza como

    \[h(x)=(x-\omega_0)(x-\omega_1)\ldots(x-\omega_{n-1}),\]

así que \det(A_n) es precisamente el producto de h(\eta) con h(\eta^2). En otras palabras,

    \begin{align*}\det(A_n)&= (\eta^n-1)(\eta^{2n}-1)\\&=\eta^{3n}+1-(\eta^n+\eta^{2n})\\&=2-(\eta^n+\eta^{2n})\end{align*}

Finalmente, hacemos un análisis de casos:

  • Si n es múltiplo de 3, entonces \eta^n = \eta^{2n} = 1 y entonces \det(A_n)=0.
  • Si n no es múltiplo de 3, entonces n y 2n no son congruentes módulo 3, y entonces \eta^n y \eta^{2n} son \eta y \eta^2 en algún orden. Así,

        \[(\eta^n+\eta^{2n})=\eta+\eta^2=-1,\]

    y por lo tanto \det(A_n)=3.

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Más problemas

Puedes encontrar más problemas de cálculo de determinantes en la Sección 7.4 y la Sección 7.5 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Álgebra Lineal I: Teorema espectral para matrices simétricas reales

Introducción

En esta entrada demostramos el teorema espectral para matrices simétricas reales en sus dos formas. Como recordatorio, lo que probaremos es lo siguiente.

Teorema. Sea V un espacio euclideano y T:V\to V una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de V que consiste de eigenvectores de T.

Teorema. Sea A una matriz simétrica en \mathbb{R}^n. Entonces, existe una matriz ortogonal P y una matriz diagonal D, ambas en \mathbb{R}^n, tales que

    \[A=P^{-1}DP.\]

Para ello, usaremos los tres resultados auxiliares que demostramos en la entrada de eigenvalores de matrices simétricas reales. Los enunciados precisos están en ese enlace. Los resumimos aquí de manera un poco informal.

  • Los eigenvalores complejos de matrices simétricas reales son números reales.
  • Si una transformación T es simétrica y W es un subespacio estable bajo T, entonces W^\bot también lo es. Además, T restringida a W o a W^\bot también es simétrica.
  • Es lo mismo que una matriz sea diagonalizable, a que exista una base formada eigenvectores de la matriz.

Además de demostrar el teorema espectral, al final de la entrada probaremos una de sus consecuencias más importantes. Veremos una clasificación de las matrices que inducen formas bilineales positivas.

Demostración de la primera versión del teorema espectral

Comenzamos mostrando la siguiente versión del teorema espectral.

Teorema. Sea V un espacio euclideano y T:V\to V una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de V que consiste de eigenvectores de T.

Demostración. Como V es espacio Euclideano, entonces tiene cierta dimensión finita n. Haremos inducción fuerte sobre n. Si n=1, el polinomio característico de T es de grado 1 y con coeficientes reales, así que tiene una raíz \lambda real. Si v es un eigenvector de T para \lambda, entonces \frac{v}{\norm{v}} también es eigenvector de T y conforma una base ortonormal para V.

Supongamos que el resultado es cierto para todo espacio Euclideano de dimensión menor a n y tomemos V espacio Euclideano de dimensión n. Por el teorema fundamental del álgebra, el polinomio característico de T tiene por lo menos una raíz \lambda en \mathbb{C}. Como T es simétrica, cualquier matriz A que represente a T también, y \lambda sería una raíz del polinomio característico de A. Por el resultado que vimos en la entrada anterior, \lambda es real.

Consideremos el kernel W de la transformación \lambda \text{id} - T. Si W es de dimensión n, entonces W=V, y por lo tanto T(v)=\lambda v para todo vector v en V, es decir, todo vector no cero de V es eigenvector de T. De esta forma, cualquier base ortonormal de V satisface la conclusión. De esta forma, podemos suponer que W\neq V y que por lo tanto 1\leq \dim W \leq n-1, y como

    \[V=W\oplus W^\bot,\]

se obtiene que 1\leq \dim W^\bot \leq n-1. Sea B una base ortonormal de W, que por lo tanto está formada por eigenvectores de T con eigenvalor \lambda.

Como la restricción T_1 de T a W^\bot es una transformación simétrica, podemos aplicar la hipótesis inductiva y encontrar una base ortonormal B' de eigenvectores de T_1 (y por lo tanto de T) para W^\bot.

Usando de nuevo que

    \[V=W\oplus W^\bot,\]

tenemos que B\cup B' es una base de V formada por eigenvectores de T.

El producto interior de dos elementos distintos de B, o de dos elementos distintos de B' es cero, pues individualmente son bases ortonormales. El producto de un elemento de B y uno de B' es cero pues un elemento está en W y el otro en W^\bot. Además, todos los elementos de B\cup B' tiene norma 1, pues vienen de bases ortogonales. Esto muestra que B\cup B' es una base ortonormal de V que consiste de eigenvectores de T.

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Demostración de la segunda versión del teorema espectral

Veamos ahora la demostración del teorema espectral en su enunciado con matrices.

Teorema. Sea A una matriz simétrica en \mathbb{R}^n. Entonces, existe una matriz ortogonal P y una matriz diagonal D, ambas en \mathbb{R}^n, tales que

    \[A=P^{-1}DP.\]

Demostración. Como A es una matriz simétrica, la transformación T:F^n\to F^n dada por T(X)=AX es simétrica. Aplicando la primer versión del teorema espectral, existe una base ortonormal de F^n que consiste de eigenvectores de T. Digamos que estos eigenvectores son C_1,\ldots,C_n. Por definición de T, estos eigenvectores de T son exactamente eigenvectores de A.

Anteriormente demostramos que si construimos a una matriz B usando a C_1,\ldots,C_n como columnas y tomamos la matriz diagonal D cuyas entradas son los eigenvalores correspondientes \lambda_1,\ldots,\lambda_n, entonces

    \[A=BDB^{-1}.\]

Afirmamos que la matriz B es ortogonal. En efecto, la fila j de la matriz ^t B es precisamente C_j. De esta forma, la entrada (i,j) del producto {^tB} B es precisamente el producto punto de C_i con C_j. Como la familia C_1,\ldots,C_n es ortonormal, tenemos que dicho producto punto es uno si i=j y cero en otro caso. De aquí, se concluye que {^tB} B=I_n.

Si una matriz es ortogonal, entonces su inversa también. Esto es sencillo de demostrar y queda como tarea moral. Así, definiendo P=B^{-1}, tenemos la igualdad

    \[A=P^{-1}DP,\]

con D diagonal y P ortogonal, justo como lo afirma el teorema.

\square

Matrices positivas y positivas definidas

Una matriz A simétrica en M_n(\mathbb{R}) induce una forma bilineal simétrica en \mathbb{R}^n mediante la asignación

    \[(x,y) \mapsto {^t x} A y,\]

con forma cuadrática correspondiente

    \[x \mapsto {^t x} A x.\]

Definición. Una matriz A en M_n(\mathbb{R}) es positiva o positiva definida si su forma bilineal asociada es positiva o positiva definida respectivamente.

Una de las aplicaciones del teorema espectral es que nos permite dar una clasificación de las matrices simétricas positivas.

Teorema. Sea A una matriz simétrica. Entonces todas las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. A es positiva.
  2. Todos los eigenvalores de A son no negativos.
  3. A=B^2 para alguna matriz simétrica B en M_n(\mathbb{R}).
  4. A= {^tC} C para alguna matriz C en M_n(\mathbb{R}).

Demostración. (1) implica (2). Supongamos que A es positiva y tomemos \lambda un eigenvalor de A. Tomemos v un eigenvector de eigenvalor \lambda. Tenemos que:

    \begin{align*}\lambda \norm{v}^2 &=\lambda {^tv} v\\&= {^t v} (\lambda v)\\&={^t v} Av\\&\geq 0.  \end{align*}

Como \norm{v}^2\geq 0, debemos tener \lambda \geq 0.

(2) implica (3). Como A es matriz simétrica, por el teorema espectral tiene una diagonalización A=P^{-1}DP con P una matriz invertible y D una matriz diagonal cuyas entradas son los eigenvalores \lambda_1,\ldots,\lambda_n de A. Como los eigenvalores son no negativos, podemos considerar la matriz diagonal E cuyas entradas son los reales \sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n}. Notemos que E^2=D, así que si definimos a la matriz B=P^{-1}EP, tenemos que

    \[B^2=P^{-1}E^2 P = P^{-1}DP = A.\]

Además, B es simétrica pues como E es diagonal y P es ortogonal, tenemos que

    \begin{align*}{^tB} &= {^t P} {^t E} {^t (P^{-1})}\\&= P^{-1} E P\\&= B.\end{align*}

(3) implica (4). Es inmediato, tomando C=B y usando que B es simétrica.

(4) implica (1). Si A= {^tC} C y tomamos un vector v en \mathbb{R}^n, tenemos que

    \begin{align*}{^t v} A v &= {^tv} {^tC} C v\\&= {^t(Cv)} (Cv)\\&=\norm{Cv}^2\\&\geq 0,\end{align*}

lo cual muestra que A es positiva.

\square

También hay una versión de este teorema para matrices simétricas positivas definidas. Enunciarlo y demostrarlo queda como tarea moral.

En una entrada final, se verá otra consecuencia linda del teorema espectral: el teorema de descomposición polar. Dice que cualquier matriz con entradas reales se puede escribir como el producto de una matriz ortogonal y una matriz simétrica positiva.

Más allá del teorema espectral

Durante el curso introdujimos varias de las nociones fundamentales de álgebra lineal. Con ellas logramos llegar a uno de los teoremas más bellos: el teorema espectral. Sin embargo, la teoría de álgebra lineal no termina aquí. Si en tu formación matemática profundizas en el área, verás otros temas y resultados fundamentales como los siguientes:

  • El teorema de Cayley-Hamiltón: toda matriz se anula en su polinomio característico.
  • La clasificación de matrices diagonalizables: una matriz es diagonalizable si y sólo si su polinomio característico se factoriza en el campo de la matriz, y la multiplicidad algebraica de sus eigenvalores corresponde con la multiplicidad geométrica.
  • El teorema de la forma canónica de Jordan: aunque una matriz no se pueda diagonalizar, siempre puede ser llevada a una forma estándar «bonita».
  • Productos interiores con imágenes en \mathbb{C}, a los que también se les conoce como formas hermitianas.
  • Los polinomios mínimos de matrices y transformaciones, que comparten varias propiedades con el polinomio característico, pero dan información un poco más detallada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra que la inversa de una matriz ortogonal es ortogonal.
  • Encuentra una base ortonormal de \mathbb{R}^3 conformada por eigenvectores de la matriz \begin{pmatrix}10 & 0 & -7\\ 0 & 3 & 0 \\ -7 & 0 & 10\end{pmatrix}.
  • Determina si la matriz anterior es positiva y/o positiva definida.
  • Enuncia y demuestra un teorema de clasificación de matrices simétricas positivas definidas.
  • Muestra que la matriz

        \[\begin{pmatrix}5 & 1 & 7\\1 & 10 & -7\\7 & -7 & 18\end{pmatrix}\]

    es positiva.

Seminario de Resolución de Problemas: Sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

Finalmente, en esta serie de entradas, veremos temas selectos de álgebra lineal y su aplicación a la resolución de problemas. Primero, hablaremos de sistemas de ecuaciones lineales. Luego, hablaremos de evaluación de determinantes. Después, veremos teoría de formas cuadráticas y matrices positivas. Finalmente, estudiaremos dos teoremas muy versátiles: el teorema de factorización PJQ y el teorema de Cayley-Hamilton.

Como lo hemos hecho hasta ahora, frecuentemente no daremos las demostraciones para los resultados principales. Además, asumiremos conocimientos básicos de álgebra lineal. También, asumiremos que todos los espacios vectoriales y matrices con los que trabajaremos son sobre los reales o complejos, pero varios resultados se valen más en general.

Para cubrir los temas de álgebra lineal de manera sistemática, te recomendamos seguir un libro como el Essential Linear Algebra de Titu Andreescu, o el Linear Algebra de Friedberg, Insel y Spence. Mucho del material también lo puedes consultar en las notas de curso que tenemos disponibles en el blog.

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal en n incógnitas en \mathbb{R} consiste en fijar reales a_1,\ldots,a_n, b y determinar los valores de las variables x_1,\ldots,x_n tales que

    \[a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=b.\]

Si a_1,\ldots,a_n no son todos cero, los puntos (x_1,\ldots,x_n) en \mathbb{R}^n que son solución a la ecuación definen un hiperplano en \mathbb{R}^n.

Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n variables consiste en fijar, para i en \{1,\ldots,m\} y j en \{1,\ldots,n\} a reales a_{ij} y b_i, y determinar los valores de las variables x_1,\ldots,x_n que simultáneamente satisfacen todas las m ecuaciones

    \[\begin{cases}a_{11}x_1+ a_{12}x_2+\ldots + a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n = b_2\\\quad \quad \vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n = b_m.\end{cases}\]

Este sistema de ecuaciones se puede reescribir en términos matriciales de manera muy sencilla. Si A es la matriz de m\times n de entradas [a_{ij}], X es el vector de variables (x_1,\ldots,x_n) y b es el vector de reales b_1,\ldots,b_m, entonces el sistema de ecuaciones anterior se reescribe simplemente como

    \[AX=b.\]

Sistemas de ecuaciones lineales con mucha simetría

En algunos sistemas de ecuaciones hay mucha simetría, y no es necesario introducir técnicas avanzadas de álgebra lineal para resolverlos. Veamos el siguiente ejemplo.

Problema. Resuelve el sistema de ecuaciones

    \[\begin{cases}7a+2b+2c+2d+2e= -2020\\2a+7b+2c+2d+2e=-1010\\2a+2b+7c+2d+2e=0\\2a+2b+2c+7d+2e=1010\\2a+2b+2c+2d+7e=2020.\end{cases}\]

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás, suponiendo que el sistema tiene una solución. A partir de ahí, puedes usar las cinco ecuaciones y combinarlas con sumas o restas para obtener información.

Solución. Al sumar las cinco ecuaciones, obtenemos que

    \[15(a+b+c+d+e)=0,\]

de donde 2(a+b+c+d+e)=0. Restando esta igualdad a cada una de las ecuaciones del sistema original, obtenemos que

    \[\begin{cases}5a= -2020\\5b=-1010\\5c=0\\5d=1010\\5e=2020.\end{cases}\]

De aquí, si el sistema tiene alguna solución, debe suceder que

    \begin{align*}a&=\frac{-2020}{5}=-404\\b&=\frac{-2020}{5}=-202\\c&=\frac{-2020}{5}= 0\\d&=\frac{-2020}{5}=202\\e&=\frac{-2020}{5}=404.\end{align*}

Como estamos trabajando hacia atrás, esta es sólo una condición necesaria para la solución. Sin embargo, una verificación sencilla muestra que también es una condición suficiente.

\square

Sistemas de ecuaciones de n x n y regla de Cramer

Si tenemos un sistema de n variables y n incógnitas, entonces es de la forma

    \[AX=b\]

con una matriz A cuadrada de n\times n. Dos resultados importantes para sistemas de este tipo son el teorema de existencia y unicidad, y las fórmulas de Cramer.

Teorema (existencia y unicidad de soluciones). Si A es una matriz cuadrada invertible de n\times n y b es un vector de n entradas, entonces el sistema lineal de ecuaciones

    \[AX=b\]

tiene una solución única y está dada por X=A^{-1}b.

El teorema anterior requiere saber determinar si una matriz es invertible o no. Hay varias formas de hacer esto:

  • Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante no es cero. Más adelante hablaremos de varias técnicas para evaluar determinantes.
  • Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si al aplicar reducción gaussiana, se llega a la identidad.
  • También ,para mostrar que una matriz es invertible, se puede mostrar que cumple alguna de las equivalencias de invertibilidad.

Problema. Demuestra que el sistema lineal de ecuaciones

    \[\begin{cases}147a+85b+210c+483d+133e= 7\\91a+245b+226c+273d+154e=77\\-119a+903b+217c+220d+168e=777\\189a+154b-210c-203d-108e=7777\\229a+224b+266c-133d+98e=77777.\end{cases}\]

tiene una solución única.

Sugerencia pre-solución. Reduce el problema a mostrar que cierta matriz es invertible. Para ello, usa alguno de los métodos mencionados. Luego, para simplificar mucho el problema, necesitarás un argumento de aritmética modular. Para elegir en qué módulo trabajar, busca un patrón en las entradas de la matriz.

Solución. Primero, notemos que el problema es equivalente a demostrar que la matriz

    \[A=\begin{pmatrix}147 & 85 & 210 & 483 & 133\\91 & 245 & 226 & 273 & 154\\-119 & 903 & 217 & 220 & 168\\189 & 154 & -210 & -203 & -108 \\229 & 224 & 266 & -133 & 98\end{pmatrix}\]

es invertible. Mostraremos que su determinante no es 0. Pero no calcularemos todo el determinante, pues esto es complicado.

Notemos que como A es una matriz de entradas enteras, entonces su determinante (que es suma de productos de entradas), también es entero. Además, como trabajar en aritmética modular respeta sumas y productos, para encontrar el residuo de \det(A) al dividirse entre 7 se puede primero reducir las entradas de A módulo 7, y luego hacer la cuenta de determinante.

Al reducir las entradas módulo 7, tenemos la matriz

    \[B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0&0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0&0 & 0 & 0 & 4 \\5& 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\]

El determinante de la matriz B es -(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)=-120. Así,

    \begin{align*}\det(A) & \equiv \det(B)\\&=-120\\&\equiv 6 \pmod 7.\end{align*}

Concluimos que \det(A) es un entero que no es divisible entre 7, por lo cual no puede ser cero. Así, A es invertible.

\square

Por supuesto, en cualquier otro módulo podemos hacer la equivalencia y simplificar las cuentas. Pero 7 es particularmente útil para el problema anterior pues se simplifican casi todas las entradas, y además funciona para dar un residuo no cero.

Ahora veremos otra herramienta importante para resolver problemas de ecuaciones lineales: las fórmulas de Cramer.

Teorema (fórmulas de Cramer). Sea A una matriz invertible de n\times n con entradas reales y b=(b_1,\ldots,b_n) un vector de reales. Entonces el sistema lineal de ecuaciones AX=b tiene una única solución X=(x_1,\ldots,x_n) dada por

    \[x_i=\frac{\det A_i}{\det A},\]

en donde A_i es la matriz obtenida al reemplazar la i-ésima columna de A por el vector columna b.

En realidad este método no es tan útil en términos prácticos, pues requiere que se evalúen muchos determinantes, y esto no suele ser sencillo. Sin embargo, las fórmulas de Cramer tienen varias consecuencias teóricas importantes.

Problema. Muestra que una matriz invertible A de n\times n con entradas enteras cumple que su inversa también tiene entradas enteras si y sólo si el determinante de la matriz es 1 ó -1.

Sugerencia pre-solución. Para uno de los lados necesitarás las fórmulas de Cramer, y para el otro necesitarás que el determinante es multiplicativo.

Solución. El determinante de una matriz con entradas enteras es un número entero. Si la inversa de A tiene entradas enteras, entonces su determinante es un entero. Usando que el determinante es multiplicativo, tendríamos que

    \[\det(A)\cdot \det(A^{-1}) = \det (I) = 1.\]

La única forma en la que dos enteros tengan producto 1 es si ambos son 1 o si ambos son -1. Esto muestra una de las implicaciones.

Ahora, supongamos que A tiene determinante \pm 1. Si tenemos una matriz B de columnas C_1,\ldots,C_n, entonces para j en \{1,\ldots,n\} la j-ésima columna de AB es AC_j. De este modo, si D_1,\ldots, D_n son las columnas de A^{-1}, se debe cumplir para cada j en \{1,\ldots,n\} que

    \[AD_j= e_j,\]

en donde e_j es el j-ésimo elemento de la base canónica. Para cada j fija, esto es un sistema de ecuaciones.

Por las fórmulas de Cramer, la i-ésima entrada de C_j, que es la entrada x_{ij} de la matriz A^{-1}, está dada por

    \[x_{ij}=\frac{\det(A_{ij})}{\det(A)}=\pm \det(A_{ij}),\]

donde A_{ij} es la matriz obtenida de colocar al vector e_j en la i-ésima columna de A.

La matriz A_{ij} tiene entradas enteras, así que x_{ij}=\pm \det(A_{ij}) es un número entero. Así, A^{-1} es una matriz de entradas enteras.

\square

Sistemas de ecuaciones de m x n y teorema de Rouché-Capelli

Hasta aquí, sólo hemos hablando de sistemas de ecuaciones que tienen matrices cuadradas asociadas. También, sólo hemos hablado de los casos en los que no hay solución, o bien en los que cuando la hay es única. Los sistemas de ecuaciones lineales en general tienen comportamientos más interesantes. El siguiente resultado caracteriza de manera elegante todo lo que puede pasar.

Teorema (Rouché-Capelli). Sea A una matriz de m\times n con entradas reales, (b_1,\ldots,b_m) un vector de reales y (x_1,\ldots,x_n) un vector de incógnitas. Supongamos que A tiene rango r. Entonces:

  • El sistema AX=b tiene al menos una solución X_0 si y sólo si el rango de la matriz de m\times (n+1) obtenida de colocar el vector b como columna al final de la matriz A también tiene rango r.
  • El conjunto solución del sistema AX=(0,0,\ldots,0) es un subespacio vectorial \mathcal{S} de \mathbb{R}^n de dimensión n-r.
  • Toda solución al sistema AX=b se obtiene de sumar X_0 y un elemento de \mathcal{S}.

Problema. Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales y de grado a lo más 3 tales que p(2)=3 y p(3)=2.

Sugerencia pre-solución. Usa notación efectiva, eligiendo variables para cada uno de los coeficientes de p(x). Luego, enuncia cada hipótesis como una ecuación.

Solución. Tomemos p(x)=ax^3+bx^2+cx+d. La hipótesis implica que

    \[\begin{cases}8a+4b+2c+d=p(2)= 3\\27a+9b+3c+d=p(3)=2.\end{cases}\]

El rango de la matriz

    \[\begin{pmatrix} 8 & 4 & 2 & 1\\ 27 & 9 & 3 & 1\end{pmatrix}\]

es a lo más 2, pues tiene 2 renglones. Pero es al menos 2, pues los dos vectores columna (2,3) y (1,1) son linealmente independientes. Exactamente el mismo argumento muestra que la matriz aumentada

    \[\begin{pmatrix} 8 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 27 & 9 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

es de rango 2. Por el primer punto del teorema de Rouché-Capelli, este sistema tiene solución.

Para encontrar esta solución de manera práctica, fijamos reales a y b y notamos que ahora

    \[\begin{cases}2c+d= 3-8a-4b\\3c+d=2-27a-9b\end{cases}\]

es un sistema en 2 variables, y como

    \[\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 1\end{pmatrix}=-1,\]

tiene una única solución para c y d. Al hacer las cuentas, o usar fórmulas de Cramer, obtenemos que

    \begin{align*}c&=-1-19a-5b\\d&=5+30a+6b.\end{align*}

Así, concluimos que los polinomios p(x) solución consisten de elegir cualesquiera reales a y b y tomar

    \[p(x)=ax^3+bx^2-(1+19a+5b)x+(5+20a+6b).\]

\square

Por supuesto, para usar este teorema es necesario conocer el rango de la matriz A. En el problema tuvimos la suerte de que eso es sencillo. Hablaremos más adelante de varias técnicas para encontrar el rango de matrices.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de sistemas de ecuaciones lineales en el Capítulo 3 y en la Sección 7.6 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Álgebra Lineal I: Problemas de determinantes y ecuaciones lineales

Introducción

En esta entrada, realizaremos problemas que nos ayudarán a repasar el tema visto el pasado lunes, sobre soluciones de sistemas lineales, Teorema de Rouché-Capelli y la regla de Cramer.

Problemas de ecuaciones lineales

Una de las maneras más usuales para demostrar que un conjunto de vectores es linealmente independientes es probar que tomamos una combinación lineal de éstos tal que es igual a 0, sólo es posible si todos los coeficientes son igual a cero. Pero como ya lo hemos visto anteriormente en diversos problemas, algunas veces ésto nos genera un sistema de ecuaciones que puede ser difícil y/o tardado resolver.

Por ello, otra manera de demostrar independencia lineal es ilustrada con el siguiente problema.

Problema. Considera los vectores

v_1=(1,x,0,1), \quad v_2=(0,1,2,1), \quad v_3=(1,1,1,1)

en \mathbb{R}^4. Prueba que para cualquier elección de x\in\mathbb{R}, los vectores v_1,v_2,v_3 son linealmente independientes.

Solución. Sea A la matriz cuyas columnas son v_1,v_2,v_3, es decir,

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Sabemos que v_1,v_2,v_3 son linealmente independiente si y sólo si \text{dim(span}(v_1,v_2,v_3))=3, ya que \text{rank}(A)=3, y eso es equivalente (por la clase del lunes) a demostrar que A tiene una submatriz de 3\times 3 invertible.

Notemos que si borramos el segundo renglón, obtenemos la submatriz cuyo determinante es

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-1,

lo que implica que es invertible, y por lo tanto v_1,v_2, v_3 son vectores linealmente independientes.

\square

En este curso, los ejemplos usualmente utilizan espacios vectoriales sobre \mathbb{R} o sobre \mathbb{C}. Como \mathbb{R}\subset \mathbb{C}, es natural preguntarnos si los resultados obtenidos en los problemas trabajados en \mathbb{R} se cumplen en \mathbb{C}. En este caso particular, si las soluciones de una matriz en M_{m,n}(\mathbb{R}) son soluciones de la misma matriz pero vista como elemento en M_{m,n}(\mathbb{C}). El siguiente teorema nos da el resultado a esta pregunta.

Teorema. Sea A\in M_{m,n}(F) y sea F_1 un campo contenido en F. Consideremos el sistema lineal AX=0. Si el sistema tiene una solución no trivial en F_1^n, entonces tiene una solución no trivial en F^n.

Demostración. Dado que el sistema tiene una solución no trivial en F_1^n, r:=\text{rank}(A) < n vista como elemento en M_{m,n}(F_1). Por el primer teorema visto en la clase del lunes, el rango es el tamaño de la submatriz cuadrada más grande que sea invertible, y eso es independiente si se ve a A como elemento de M_{m,n}(F_1) o de M_{m,n}(F). Y por el teorema de Rouché-Capelli, el conjunto de soluciones al sistema es un subespacio de F^n de dimensión n-r>0. Por lo tanto, el sistema AX=0 tiene una solución no trivial en F^n.

\square

A continuación, se mostrarán dos ejemplos de la búsqueda de soluciones a sistemas lineales donde usaremos todas las técnicas aprendidas a lo largo de esta semana.

Problema. Sea S_a el siguiente sistema lineal:

\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ 3x+2y-2z=2 \\ 2x-y+az=3 \end{matrix}.

Encuentra los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución, tiene exactamente una solución y tiene un número infinito de soluciones.

Solución. El sistema lo podemos escribir como AX=b donde

A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad b=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Notemos que

\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & a \end{vmatrix}=8a-1,

entonces si a\neq 1/8, A es invertible, y por lo tanto \text{rank}(A)=3, mientras que si a=1/8, A no es invertible y \text{rank}(A)=2 ya que la submatriz es invertible

\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=8.

Además, si la matriz (A,b) es igual a

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & a & 3 \end{pmatrix},

quitando la tercera columna, obtenemos una submatriz invertible (ejercicio). Por lo tanto, \text{rank}(A,b)=3.

Aplicando el Teorema de Rouché-Capelli, para a=1/8, el sistema AX=b no tiene soluciones. También podemos concluir que como \text{rank}(A)=3 para todo a\neq 1/8, el sistema tiene exactamente una solución. (Y AX=b nunca tiene infinitas soluciones).

\square

Problema. Sean a,b,c números reales dados. Resuelve el sistema lineal

\begin{matrix} (b+c)x+by+cz=1 \\ ax+ (a+c)y+cz=1 \\ ax+by+(a+b)z=1 \end{matrix}.

Solución. La matriz del sistema es

A=\begin{pmatrix} b+c & b & c \\ a & a+c & c \\ a & b & a+b \end{pmatrix}.

No es difícil ver que \text{det}(A)=4abc. Si abc\neq 0, usando la regla de Cramer, la única solución al sistema está dada por

x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & a+c & c \\ 1 & b & a+b \end{vmatrix}}{4abc}, \quad y=\frac{\begin{vmatrix} b+c & 1 & c \\ a & 1 & c \\ a & 1 & a+b \end{vmatrix}}{4abc}

y=\frac{\begin{vmatrix} b+c & b & 1 \\ a & a+c & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix}}{4abc},

resolviendo los determinantes obtenemos que

x=\frac{a^2 -(b-c)^2}{4abc}, \quad y=\frac{b^2 -(a-c)^2}{4abc}, \quad z=\frac{c^2-(a-b)^2}{4abc}.

Ahora, si abc=0, entonces A no es invertible (\text{rank}(A)<3). El sistema es consistente si y sólo si \text{rank}(A)=\text{rank}(A,b).

Sin pérdida de generalidad, decimos que a=0 (pues abc=0). Esto reduce el sistema a

\begin{matrix} (b+c)x+by+cz=1 \\ c(y+z)=1 \\ b(y+z)=1 \end{matrix}.

El sistema es consistente si b=c y distintos de cero. En este caso, tenemos que b(2x+y+z)=1 y b(y+z)=1, implicando x=0, y+z=1/b. De manera similar, obtenemos las posibles soluciones si b=0 o si c=0.

Resumiendo:

  • Si abc\neq 0, el sistema tiene una solución única dada por la regla de Cramer.
  • Si tenemos alguno de los siguientes tres casos: caso 1) a=0 y b=c \neq 0; caso 2) b=0 y a=c\neq 0; caso 3) c=0 y a=b\neq 0, tenemos infinitas soluciones descritas como, para todo w\in \mathbb{R}: caso 1) (0,w,1/b-w); caso 2) (w,0,1/a-w); caso 3) (w,1/a-w,0).
  • Si no se cumplen ninguno de las cuatro condiciones anteriores para a,b,c, el sistema no es consistente.

\square