Seminario de Resolución de Problemas: Principio de las Casillas

Esta es una serie de entradas de blog para dar seguimiento a los estudiantes del Seminario sobre Enseñanza de las Matemáticas (Resolución de Problemas) durante la época de cuarentena debida al coronavirus.

Introducción

Imaginemos que tenemos un botiquín con 9 espacios para acomodar medicamentos. Si contamos con un total de 10 medicamentos para acomodar en los 9 espacios, es claro pensar que al menos uno de los 9 espacios tendrá al menos 2 medicamentos. Eso lo podemos deducir a partir de que no hay posibilidad de repartir los 10 medicamentos de manera equitativa en los 9 espacios, ya que tenemos más objetos que acomodar que lugares en donde distribuir.

Siguiendo el ejemplo anterior, podemos generalizar un poco. Si tuviésemos n lugares en el botiquín y n+1 medicamentos, podemos concluir lo mismo: al menos en una casilla habría más de un medicamento.

El esquema propuesto anteriormente es un versión básica del principio de casillas. Si volvemos a nuestro problema inicial, con el botiquín con 9 lugares disponibles, pero ahora tenemos un total de 19 medicamentos, de igual manera, no podemos distribuir los medicamentos de manera equitativa en los nueve lugares, y ahora si lo pensamos con un poco más de detalle, podemos concluir que en alguna de las 9 casillas deberían de haber al menos 3 medicamentos. Esto surge en consecuencia de pensar que podemos distribuir de manera equitativa los 19 medicamentos en los 9 lugares, sin embargo si colocamos en cada lugar un total de 2 medicamentos, tendríamos que hemos acomodado un total de 18 (9\times 2) medicamentos, quedándonos 1 medicamento por acomodar, el cual debería de ir en alguno de los lugares con 2 medicamentos cada uno. Con esto concluimos que en alguno de los lugares del botiquín debe de haber al menos 3 medicamentos.

Con lo anterior, enunciaremos el principio de casillas.

Principio de Casillas: Si se distribuyen al menos \textbf{nk+1} elementos en \textbf{n} lugares, se tiene que uno de esos lugares tiene al menos \textbf{k+1} elementos.

Este principio puede ser de gran utilidad para la resolución de problemas en los cuales hay que exhibir la existencia de elementos que cumplen cierta propiedad.

Problemas

A continuación veremos ciertos problemas en los que se muestra que el principio de las casillas es una herramienta poderosa para su resolución.

Problema 1. Demuestre que si hay n personas en una fiesta, entonces dos de ellos conocen la misma cantidad de personas (entre los presentes).

Solución. Supongamos que hay una persona P que no conoce a ninguna de las n-1 personas restantes. Cada una de las personas en la fiesta conoce a un número de personas entre un rango de 0 a n-2 (nadie puede conocer a los n-1 restantes pues nadie puede conocer a P)Ahora, aplicando el principio de casillas, relacionando a cada persona su número de conocidos, el cual varía de 0 a n-2, tenemos que al menos dos personas deben de conocer el mismo número de personas.

De igual manera, si suponemos que toda persona conoce a alguien, tenemos que el número de conocidos de cada persona varía de 1 a n-1. Aplicando de nueva cuenta el principio de casillas, al asociar a cada persona su número de conocidos, tenemos que al menos dos se repiten.

\square

Problema 2: Dado un conjunto de n+1 enteros positivos, todos ellos menores o iguales a 2n, muestra que al menos un miembro del conjunto debe dividir a otro miembro del conjunto.

Solución. Sean a_1, a_2, ..., a_{n+1} dichos enteros positivos. Al factorizar la máxima potencia de dos que divide a cada uno de ellos, podemos escribir a cada número de la forma a_i=2^{m_i}·b_i de tal forma que b_i es un número impar mayor o igual que uno y m_i es un entero no negativo. Consideramos a B como el conjunto de todos los b_i´s

    \[B=\lbrace b_1, b_2, ..., b_{n+1}\rbrace.\]

Tenemos que entre 1 y 2n hay un total de n números impares, así que en el conjunto B debe de haber dos elementos que sean iguales entre sí. Supongamos que b_i y b_j son dichos elementos. Con ello, si m_i\leq m_j entonces a_i divide a a_j. Y si m_i>m_j entonces a_j divide a a_i.

\square

Problema 3: Dados los puntos A, B, C, D, E al interior de un cuadrado unitario, demuestra que al menos hay dos puntos cuya distancia es menor a \frac{\sqrt{2}}{2}.

Solución. Si dividimos el cuadrado en 4 cuadrados iguales, tenemos que por el principio de casillas en al menos uno de los cuadrados debe de haber 2 puntos. Sin perdida de generalidad, supongamos que  A y B son dichos puntos que quedan la interior de uno de estos cuadrados pequeños. Tenemos que le diagonal del cuadrado pequeño es \frac{\sqrt{2}}{2}, es por ello que cualesquiera dos puntos al interior del cuadrado pequeño estarán distanciados menos que \frac{\sqrt{2}}{2}.

\square

Problema 4. Prueba que una línea recta que no pasa por uno de los vértices de un triángulo, no puede cortar los tres lados del triángulo.

Solución. Tenemos que una recta divide al plano en dos regiones. Si tomamos estas regiones como «casillas» tenemos que en una de nuestras casillas hay al menos dos puntos del triángulo los cuales forman un segmento de recta que es uno de los lados del triángulo. Con esto tenemos que la recta no corta ese lado del triángulo.

\square

Puedes dejar dudas de la entrada o soluciones alternativas a algunos de estos problemas aquí abajo en los comentarios.

Más ejemplos

Puedes encontrar más ejemplos en la Sección 2.6 del Larson, o en la siguiente entrada que escribiremos al respecto.

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