El blog de Leo

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El blog de Leo comenzó siendo un proyecto personal, pero ahora es una página con decenas de autores que escriben notas para aprender matemáticas a nivel universitario. Puedes consultar el material navegando el menú superior o los siguientes enlaces. Para conocer más de este sitio, puedes ir a la sección Acerca de.

Entradas recientes

  • Geometría Moderna II: Razón Cruzada por la Circunferencia
    Introducción Como ya se vio, la razón cruzada tiene varias propiedades, desde seis tipos de razón cruzada hasta la construcción del cuarto elemento, pero falta analizar su relación con la circunferencia. Propiedades de razón cruzada por la circunferencia Se abordarán 3 propiedades en relación con una circunferencia dada. Propiedad 1. Sean cuatro puntos en una… Leer más: Geometría Moderna II: Razón Cruzada por la Circunferencia
  • Derivadas Parciales de Orden Superior.
    $\textcolor{Red}{\textbf{Derivadas Parciales de Orden Superior}}$ Si $f$ es una función de doas variables $x,y$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones de las mismas variables, cuando derivamos $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ y $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ obtenemos las derivadas parciales de segundo orden, las derivadas de $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ están definidas por: $$\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=\displaystyle\lim_{h\to… Leer más: Derivadas Parciales de Orden Superior.
  • Regla de la Cadena. Plano tangente.
    $\textcolor{Red}{\textbf{Caso particular de la regla de la cadena}}$ Supongamos que $C:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ es una trayectoria diferenciable y $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$. Sea $h(t)$=$f(x(t), y(t), z(t))$ donde $c(t)$=$(x(t),y(t), z(t))$.Entonces $$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}} = \displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot \frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\cdot\frac{\partial{z}}{\partial{t}}$$ Esto es:$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}$=$\nabla{f(c(t))}\cdot{c'(t)}$, ~donde $c'(t)$=$((x'(t), y'(t), z'(t))$ $\small{Dem.}$ Por definición$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}(t_{0})$=$\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$Sumando y restando tenemos que $\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(c(t))-f(c(t_{0}))}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(x(t), y(t), z(t)) – f(x(t_{0}), y(t_{0}), z(t_{0}))}{t-t_{0}}$= =$\frac{f(x(t), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t),z(t))~+~f(x(t_{0}), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t_{0}),z(t))~+~f(x(t_{0}),… Leer más: Regla de la Cadena. Plano tangente.
  • Diferenciabilidad y continuidad. Gradiente. Máximo crecimiento. Puntos estacionarios
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciabilidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$}}$ $\textbf{Definición.}$ Sea $A\subset\mathbb{R}^{2}$, un abierto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $(x_{0},y_{0})\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ si existen las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),~~\frac{\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ tal que$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$ $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciabilidad implica continuidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$}}$ $\textbf{Teorema 1.}$ Si la función $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ definida… Leer más: Diferenciabilidad y continuidad. Gradiente. Máximo crecimiento. Puntos estacionarios
  • Diferenciación, Derivadas Direccionales
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciación de funciones $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$}}$ Sea $f:A \subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y $\overline{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) \epsilon {A}$. Se define la derivada pacial $i$-esima en $\overline{a}$ denotada $f_{x}(\overline{a})$, $D_{x}f(\bar{a})$ ó $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{a})$ de la forma $f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots.a_{n})-f(\bar{a})}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+he_{i})-f(a)}{h}$ siendo$\bar{e}_{i}=(0,\ldots,\underset{i-esimo}{1},\ldots,0)$. Si $n=2$ existen 2 derivadas parciales. Sea $\bar{a}=(x_{0},y_{0})$ un punto del interior del dominio de $f:A \subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ las… Leer más: Diferenciación, Derivadas Direccionales
  • Continuidad, Diferenciabilidad
    $\textbf{Proposición 1}$ Sea $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$$Entonces para una función real y continua $g$ definida en unentorno da $a$ tal que $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ se tiene que $$\lim_{x\rightarrow a}f(x,g(x))=L$$ $Demostración.$ Por la existencia del límite doble, dado $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$, tal que $$|(x,y)-(a,b)|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon.$$ Ahora $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ quiere decir que dado $\delta>0$ existe… Leer más: Continuidad, Diferenciabilidad
  • Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesiones
    $\textcolor{Red}{\textbf{Criterio de Convergencia de Cauchy}}$ $\textbf{Definición.-}$ Sea ${\overline{x_{k}}}$ una sucesión de puntos de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que ${\overline{x_{k}}}$ es una sucesión de Cauchy si dado $\epsilon>0$ $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|<\epsilon$ $\forall k,l\geq N_{0}$ $\textbf{Teorema 1.-}$ Una sucesión $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy $Demostración$ $\textcolor{Red}{\Rightarrow}$ Suponemos… Leer más: Criterio de Cauchy, Conjuntos Compactos y compacidad por sucesiones
  • Puntos interiores y cerradura de un Conjunto
    $\textcolor{Red}{\textbf{Puntos Interiores y Cerradura de un Conjunto}}$ $\textbf{Proposición.}$ Para todo subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ se tiene: $(1)$ $int(A)\subset A$ $\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in int(A)$ $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{a},r)\subset A$ $\therefore$ $int(A) \subset A$ $(2)$ $A\subset\bar{A}$ $\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in A$ $\forall$ $B(\bar{a},r)$ se tiene que $B(\bar{a},r)\cap A\neq\emptyset$ $\therefore$ $A\subset\bar{A}$ $Lema.$ Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$… Leer más: Puntos interiores y cerradura de un Conjunto
  • Diferenciales de orden uno, dos,…n
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciales de funciones $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$}}$ Tenemos que $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable si$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$cumple$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$Esto se puede escribir como$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$ tomando$$f(x_{o}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=\triangle z$$$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\triangle x$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\triangle y$$tenemos que$$\triangle z=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\triangle x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\triangle y+r(\triangle x,\triangle y)$$haciendo $\triangle x,~\triangle y\rightarrow 0$ tenemos$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) dy$$$\textbf{Definición.}$Si $z=f(x,y)$… Leer más: Diferenciales de orden uno, dos,…n
  • Cálculo Diferencial e Integral II: Funciones integrables con finitas discontinuidades
    En este ejemplo vemos cómo integrar funciones con finitas discontinuidades, por ejemplo las escalonadas o continuas a trozos.

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