Álgebra Superior II: Problemas de exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

En entradas anteriores, vimos la construcción de los números complejos, sus operaciones y varias de sus características algebraicas. Conociendo ya las funciones exponencial y logaritmo, así como las funciones trigonométricas seno y coseno, vamos a iniciar con un breve análisis geométrico de la función exponencial. Posteriormente pasaremos a hacer unos ejercicios simples de operar dichas funciones en números complejos concretos.

Geometría de la exponencial compleja

Para empezar, estudiamos qué le hace la función exponencial al plano complejo de manera geométrica. Para hacer esto, tomamos varias rectas en el plano complejo para entender en qué se transforman tras aplicarles la función exponencial.

A grandes rasgos, cuando tomamos una recta vertical, la imagen de esta le da la vuelta al origen repetidamente. Cuando tomamos una recta horizontal, su imagen es un rayo que emana del origen (sin tocarlo).

En este video se explican estas ideas de manera visual.

Calcular una exponencial compleja

Lo siguiente que haremos es resolver un ejercicio de calcular la exponencial de un número complejo. Recuerda que, por definición, se tiene que

    \[e^{x+iy}=e^x\text{cis}(y).\]

Ejercicio. Expresa e^{4+\frac{\pi}{6}i} en la forma x+iy.

Problema de logaritmo complejo

Recuerda que el logaritmo complejo funciona como inverso de la función exponencial. Para que esto sea cierto, tenemos que restringir la exponencial a una franja del plano complejo.

Por definición, tenemos que

    \[L(z)=\ln \norm{z} + \text{arg}(z)i.\]

Para que la definición funcione bien, es necesario que tomemos el argumento en el intervalo (-\pi,\pi].

Resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula L\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right).

Problema de trigonometría compleja

Por último, haremos un ejercicio de calcular una función trigonométrica compleja. Sólo necesitaremos la definición de la función coseno, pero por conveniencia, a continuación recordamos tanto la definición de seno, como la de coseno.

    \begin{align*}\cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2},\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2}.\end{align*}

Con esto en mente, resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} i\right).

Más tarde les subo fotos por si alguien tiene dificultades para ver los videos.

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