El lema del intercambio de Steinitz

En esta entrada platicaré de un lema muy útil en álgebra lineal, sobre todo cuando se están definiendo las nociones de base y de dimensión para espacios vectoriales de dimensión finita.

Supondré que el lector ya sabe un poco de álgebra lineal, pero muy poquito. Basta con saber la definición de espacio vectorial. Lo demás lo definiremos sobre el camino.

El resultado de esta entrada es el lema del intercambio, o el lema de Steinitz (se pronuncia esh-tai-nits). Este último nombre es en honor al matemático alemán Ernst Steinitz. Sin embargo, personalmente a mi me gusta pensarlo como el lema del regalo de vectores, por razones que ahorita platicaremos. El enunciado es el siguiente:

Teorema (Lema del intercambio) Sea V un espacio vectorial. Tomemos un conjunto finito y linealmente independiente L de V, y un conjunto finito y generador S de V. Supongamos que L tiene m elementos y que S tiene n elementos. Entonces:

  • m\leq n
  • Se puede tomar un subconjunto T de S de tamaño n-m tal que L\cup T sea generador de V.

De manera esquemática, está pasando lo siguiente:

Lo que haremos es hablar de las definiciones necesarias para entender el lema, hablar de la intuición detrás, dar un par de ejemplos y luego dar la demostración. La presentación está ligeramente basada en el libro de álgebra lineal de Titu Andreescu.

Definiciones e intuición

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.

Si tenemos vectores v_1,\ldots,v_n de V y escalares a_1,\ldots,a_n en F, podemos considerar al vector formado por multiplicar los vectores por los escalares correspondientes y sumarlos todos, es decir al vector v dado por la expresión a_1v_1+\cdots+a_nv_n . En este caso, decimos que v es una combinación lineal de v_1,\ldots,v_n, o a veces que v_1,\ldots,v_n generanv.

Un conjunto S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} de vectores de V es generador si para cualquier v de V existen escalares a_1,\ldots,a_n en F para los cuales v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n. Dicho de otra forma, «S es generador si cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de vectores de S«.

De esta definición es fácil ver que si S es un conjunto generador y T es un conjunto que contiene a S (es decir, T\supset S), entonces T también es generador: simplemente para cualquier v usamos la combinación lineal que tenemos en S y al resto de los vectores (los de T\setminus S) les ponemos coeficientes cero.

Un conjunto L=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} de vectores de V es linealmente independiente si la única combinación lineal de vectores de L que da 0 es aquella en la que todos los escalares son 0. Dicho de otra forma, «L es linealmente independiente si a_1w_1+\ldots+a_mw_m=0 implica que a_1=a_2=\ldots=a_m=0

Con los conjuntos linealmente independientes pasa lo contrario a lo de los generadores. Si L es un conjunto linealmente independiente y M está contenido en L (es decir, ahora M\subset L), entonces M es linealmente independiente. Esto es pues cualquier combinación lineal de M también es una combinación lineal de L.

Los párrafos anteriores dejan la idea de que «los conjuntos generadores tienen que ser grandes» y que «los conjuntos linealmente independientes tienen que ser chiquitos». El lema de Steinitz es una manera en la que podemos formalizar esta intuición.

Como los conjuntos generadores son grandes, entonces son bien buena onda y bien generosos. Tienen muchos elementos. Como los conjuntos linealmente independientes son chiquitos, entonces necesitan elementos. Lo que dice el lema de Steinitz es que si tenemos a un generador S y a un linealmente independiente L, entonces S tiene más elementos y que puede regalar al linealmente independiente L algunos elementos T para que ahora L\cup T tenga tantos elementos como tenía S y además se vuelva generador. Una cosa importante es que no cualquier subconjunto T funciona. Este tiene que estar bien elegido.

Ejemplo concreto

Veamos un ejemplo muy concreto. Supongamos que nuestro espacio vectorial es \mathbb{R}^3, osea, los vectores con 3 entradas reales. Tomemos a los siguientes conjuntos de vectores:

  • L=\{(1,2,3), (0,2,0)\}
  • S=\{(0,1,0), (1,0,0), (0,0,-1), (2,4,6)\}

Por un lado, el conjunto L es linealmente idependiente. Una combinación lineal a(1,2,3)+b(4,3,0)=(0,0,0) implica de manera directa que b=0 (por la primer o tercer coordenadas) y de ahí a=0 (por la segunda coordenada).

Por otro lado, el conjunto S es generador, pues con (0,0,-1) podemos obtener a (0,0,1) como combinación lineal, de modo que S genera a los tres de la base canónica y por tanto genera a todo \mathbb{R}^3.

Notemos que en efecto L tiene menos elementos que S. Además, el lema de Steinitz garantiza que S puede pasarle |S|-|L|=4-2=2 elementos a L para volverlo generador. Pero hay que ser cuidadosos. Si le regala los elementos (0,1,0) y (2,4,6), entonces no funciona (se puede verificar que este conjunto no genera a \mathbb{R}^3). Pero si le regala, por ejemplo, los elementos (1,0,0) y (0,0,-1) entonces ahora sí generará (se puede argumentar viendo que entonces ahora genera a los tres de la base canónica).

Demostración

Pasemos ahora a la demostración del lema de Steinitz. Lo demostraremos por inducción en la cantidad de elementos que tiene L, el linealmente independiente. Si |L|=m=0, entonces claramente m=0\leq n, y además S le puede pasar n-0=n elementos (todos) a L y volverlo generador.

Supongamos entonces que es cierta la siguiente afirmación.

Hipótesis inductiva Sea V un espacio vectorial. Tomemos un conjunto finito y linealmente independiente L de V, y un conjunto finito y generador S de V. Supongamos que L tiene m elementos y que S tiene n elementos. Entonces:

  • m\leq n
  • Se puede tomar un subconjunto T de S de tamaño n-m tal que L\cup T sea generador de V.

Para el paso inductivo, tomemos L=\{w_1,w_2,\ldots,w_m,w_{m+1}\} un linealmente independiente de V y S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} un generador de V. Aplicándole la hipótesis inductiva al linealmente independiente L'=L\setminus \{w_{m+1}\}=\{w_1,\ldots,w_m\} y al generador S, tenemos que:

  • m\leq n
  • Se puede tomar un subconjunto T'=\{s_1,s_2,\ldots,s_{n-m}\} de S tal que L'\cup T'= \{w_1,w_2,\ldots,w_m,s_1,\ldots,s_{n-m}\} sea generador de V.

Como L'\cup T' es generador, entonces podemos poner a w_{m+1} como combinación lineal de elementos de L'\cup T', es decir, existen a_1,\ldots, a_m, b_1,\ldots,b_{n-m} tales que

    \[w_{m+1}=a_1w_1+\ldots+a_mw_m+b_1s_1+\ldots+b_{n-m}s_{n-m}.\]

Ya sabemos que m\leq n. Si m=n, la combinación lineal anterior no tendría ningún s_i, y entonces sería una combinación lineal no trivial para los elementos de L, lo cual es una contradicción pues L es linealmente independiente. Entonces m\neq n y m\leq n, así que m+1\leq n, que era el primer punto que queríamos probar.

También, como L es linealmente independiente, no se vale que todos los b_i sean iguales a cero. Sin perder generalidad, podemos suponer que b_1\neq 0. Así, s_1 se puede despejar como combinación lineal en términos de w_1,\ldots,w_n,w_{n+1}, s_2,\ldots,s_{n-m} y por lo tanto L\cup (T'\setminus \{s_1\}) genera lo mismo que L'\cup T', que era todo V. Así, T:=T'\setminus \{s_1\} es el subconjunto de S de tamaño n-(m+1) tal que L\cup T es generador. Esto termina la prueba del lema.

Algunas aplicaciones

El lema de Steinitz se puede utilizar para probar varias afirmaciones con respecto a bases de un espacio vectorial de dimensión finita.

Como recordatorio, un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene un conjunto generador con una cantidad finita de elementos. Una base de un espacio vectorial es un conjunto que sea simultáneamente generador y linealmente independiente.

Las siguientes afirmaciones se siguen directamente del lema de Steinitz.

  1. Todas las bases de un espacio vectorial finito tienen la misma cantidad de elementos.
  2. En un espacio vectorial de dimensión d:
    • Todo conjunto linealmente independiente tiene a lo más d elementos.
    • Todo conjunto generador tiene al menos d elementos.
  3. Si S es un conjunto con n vectores de un espacio vectorial de dimensión n, entonces las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
    • S es base.
    • S es linealmente independiente.
    • S es generador.

Como primer ejemplo, haremos (1). Tomemos B_1 y B_2 bases de un espacio vectorial de dimensión finita B. Pensando a B_1 como linealmente independiente y a B_2 como generador, tenemos |B_1|\leq |B_2|. Pensando a B_2 como linealmente independiente y a B_1 como generador, tenemos |B_2|\leq |B_1|. Así, |B_1|=|B_2|.

Como segundo ejemplo, haremos una parte de (3). Suponiendo que S es linealmente independiente, veremos que S es base. Sea B una base de V. Por el lema de Steinitz, podemos pasar |B|-|S|=n-n=0 elementos de B a S para volverlo generador. Es decir, S ya es generador. Como además es linealmente independiente, entonces es base.

El resto de las demostraciones son igual de sencillas, como puedes verificar.

¿Ahora qué?

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