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Fibonacci en Pascal: Dos pruebas

En esta entrada quiero dar dos demostraciones de un hecho sensacional: si se suman los números que están en las diagonales del triángulo de Pascal, entonces se van obteniendo los números de Fibonacci. Esto se ve más claro en la siguiente imagen. Cada diagonal es lo que está entre dos líneas rosas (¿moradas?). Arriba a la derecha están las sumas.

FiboPascal

Este dato curioso lo acabo de mandar a la página de FB Art of Mathematics. A quien maneja la página le gustó e hizo una imagen más bonita que puedes ver dando clic al nombre de la página.

Originalmente, me contaron de esta propiedad cuando tomaba entrenamientos de Olimpiada de Mate en el DF. La Prueba 1 de abajo fue la que se dio en el entrenamiento: usar inducción y la regla para formar el triángulo de Pascal. Sin embargo, el problema me gustó tanto que busqué una prueba alternativa. Esa es la Prueba 2 que pongo a continuación. Esa es mi favorita por que simplemente hay que contar algo de dos maneras distintas y el resultado sale inmediatamente.

La Prueba 2 forma parte de una colección más grande de pruebas de doble conteo que publiqué en Tzaloa (la revista de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas). Pueden ver la revista en línea en este enlace: Tzaloa 2011-3

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Solución alternativa al Problema 3 de la Centro 2016

El problema

En esta entrada veremos una solución al Problema 3 de la Centro 2016 distinta a la solución oficial. El problema dice lo siguiente:

El polinomio Q(x)=x^3-21x+35 tiene tres raíces reales diferentes p, q y r. Encuentra reales a y b para los cuales el polinomio P(x)=x^2+ax+b permuta cíclicamente (en algún orden) a  p, q y r.

Si quieres intentar el problema, este es el momento. A partir de la siguiente sección se comenzará a hablar de las soluciones.

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Convocatoria Concurso Galois-Noether 2016

Ken 2 CC-BY - Editada2

El Comité Organizador del Concurso Galois-Noether y la
Facultad de Ciencias de la UNAM presentan la siguiente

 CONVOCATORIA
(descargar cartel)

VI Concurso Universitario de Matemáticas Galois – Noether

Lineamientos

  • Los problemas abarcarán temas de matemáticas universitarias como teoría de números, geometría, combinatoria, análisis, cálculo y álgebra.
  • Puede participar cualquier estudiante que se encuentre cursando una carrera universitaria.
  • La participación en el concurso es gratuita.
  • La inscripción es en línea. Se recibirán inscripciones hasta el jueves 12 de mayo. La página es la siguiente:
  • El concurso cuenta con dos etapas
    • Primera etapa. Sábado 14 de mayo de 2016. Es un examen de 25 preguntas de opción múltiple para realizarse en 3 horas.
    • Segunda etapa. Sábado 13 de agosto de 2016. Es un examen de 6 preguntas de demostración para realizarse en 4 horas y media. Se otorgarán puntos por avances en la solución de los problemas.
  • Ambas etapas se llevarán a cabo en Ciudad Universitaria. El lugar preciso y la hora de cada etapa serán dados a conocer oportunamente a los participantes inscritos.
  • Los concursantes deberán presentarse únicamente con lápiz, goma y pluma. En particular, no está permitido el uso de guías, celulares, calculadoras, libros, apuntes, etc.

Premios

  • Los concursantes que así lo deseen recibirán un Reconocimiento por su participación.
  • Los 25 primeros lugares de la primera etapa serán invitados a participar en la segunda etapa.
  • Se premiará a los primeros tres lugares de la segunda etapa.
  • Adicionalmente, los mejores participantes de la UNAM serán invitados al equipo para la VIII CIIM* que se llevará a cabo tentativamente en el Instituto Militar de Engenharia, Brasil, aproximadamente a finales de septiembre.

Para consultar los problemas de las ediciones anteriores, tips para practicar y saber más acerca de este concurso, puedes consultar la página oficial: http://blog.nekomath.com/concurso-galois-noether/

*La Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas (CIIM) es un concurso anual internacional de matemáticas universitario en el cual participan varios países Iberoamericanos.

Imagen derivada de Ken / CC-BY 2.0

Liga de Matemáticas en México

En esta entrada pongo un examen para la Liga de Matemáticas en México. Éste un proyecto que surgió el semestre pasado a iniciativa de Jorge Fernández, estudiante de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Los interesados en la liga participan en exámenes semanales y se les va contando su puntuación. Cualquier persona interesada puede participar. Los exámenes los ponen los estudiantes mismos y algunos profesores. En fin, si quieren saber más pueden entrar al enlace que puse y preguntar en el grupo por la mecánica.

Esta semana me invitaron a colaborar con uno de los exámenes. En enlace está aquí abajo. Es un examen de 5 preguntas a realizarse en 5 horas.

Examen 17 de febrero

Edit: Ya fue el examen. A continuación se muestran las soluciones. Son las que envió Jorge Fernández, que prácticamente coinciden con las soluciones oficiales y con las que enviaron Oscar Henney y Gibrán Espejo.

Soluciones Examen 17 de febrero