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1.10. BASE DE ESPACIOS VECTORIALES: obtención a partir de un conjunto linealmente independiente o generador

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

INTRODUCCIÓN

De cualquier subconjunto finito de nuestro espacio, podemos obtener un generador o un l.i. y cuando lo obtengamos, bastará con centrarnos en la cardinalidad para reducir, o bien, completar, y obtener una base.

Teorema: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita.
a) Todo conjunto generador finito se puede reducir a una base.
b) Todo conjunto linealmente independiente se puede completar a una base.

Demostración:

a) En la demostración de la proposición que se encuentra en la entrada anterior tomamos un conjunto generador finito $S$ de un espacio vectorial arbitrario y recursivamente tomamos subconjuntos propios de $S$ hasta que uno de esos subconjuntos fuera base. Usando el mismo método, reducimos cualquier conjunto generador de $V$ para obtener una base.

b) Sea $S\subseteq V$ un conjunto l.i.
Ya sabemos que $S$ es finito por ser un subconjunto l.i. de $V$ de dimensión finita (observación en la entrada anterior).

Caso 1. Si $\langle S \rangle = V$, entonces $S$ es base de $V$ por definición.

Caso 2. Si $\langle S \rangle \subsetneq V$, entonces existe $v_1\in V$ tal que $v_1\notin \langle S \rangle$. Por lo tanto, $\langle S \rangle \cup \{ v_1 \}$ es l.i.

Subaso 1. Si $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \rangle = V$, entonces $S$ es base de $V$ por deifinición.

Subcaso 2. Si $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \rangle \subseteq V$, entonces existe $v_2\in V$ tal que $v_2\notin \langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \rangle$ Por lo tanto, $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \cup \{ v_2 \} \rangle$ es l.i.

Este proceso no es infinito porque los suconjuntos l.i de $V$ deben ser finitos.

Sea $m$ el número de elementos de $V$ que tuvimos que «aumentar» a $\langle S \rangle$ en los subcasos del caso 2, entonces $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \cup \{ v_2 \} \cup … \{ v_m \} \rangle$ es base de $V$.

Corolario: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial tal que $dim_K(V)=n$.
a) Cualquier conjunto generador con $n$ elementos es una base de $V$.
b) Cualquier conjunto linealmente independiente con $n$ elementos es una base de $V$.

Demostración: Por definición de base tenemos que toda base $B$ de $V$ cumple que $|B|=dim_K(V)=n$. Es decir, toda base de $V$ tiene $n$ elementos.

a) Sea $S\subseteq V$ generador con $n$ elementos.
Por el teorema anterior podemos reducir $S$ a una base.
Pero reducir $S$ a un conjunto de $n$ elementos implica que se conserva íntegro.
Por lo tanto $S$ es base.

b) Sea $S\subseteq V$ linealmente independiente.
Por el teorema anterior podemos completarlo a una base.
Pero completar $S$ a un conjunto de $n$ elementos implica que se conserva íntegro.
Por lo tanto $S$ es base.

Ejemplo

Sea $K=\mathbb{R}, V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
Sea $W=\left\langle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle$

Por construcción, $W$ es el subespacio generado por $X=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\}$
Encontremos un subconjunto de $X$ que sea base de $W$.

Observemos que $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Así, $X$ es l.d. y como $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, entonces $W=\langle X\rangle = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\rangle$

Veamos que $B=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\}$ es l.i.

Sean $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda_1\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

De donde $\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_1+\lambda_2 \\ \lambda_3 & \lambda_2+\lambda_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Así, $\lambda_1, \lambda_1+\lambda_2, \lambda_3, \lambda_2+\lambda_3=0$.
Por lo tanto, $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$.

Como $\langle B\rangle=W$ y $B$ es l.i., entonces $B$ es base y obtenemos que $dim_\mathbb{R}W=|B|=3$

Teorema: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita y $W$ un subespacio de $V$. Entonces se cumple lo siguiente:

a) $W$ es de dimensión finita
b) Toda base de $W$ se puede completar a una base de $V$
c) $dim_KW\leq dim_KV$
d) Si $dim_KW=dim_KV$, entonces $W=V$

Demostración: Analicemos cada inciso por separado:

a) Sup. por reducción al absurdo que $W$ no es de dimensión finita.
Entonces existe $B$ base de $W$ de cardinalidad infinita.
Así, $B$ es un subconjunto de $V$ que es l.i.
Por el teorema anterior tenemos que podemos completar a $B$ para obtener una base de $V$, lo cual es una contradicción, pues existiría un abse de $V$ de cardinalidad infinita (pero por hipótesis, $V$ es de cardinalidad finita).
Por lo tanto, $W$ es de dimensión finita.

b) Sea $B$ una base de $W$.
Entonces $B$ es un subconjunto l.i. en $V$ y por el teorema anterior podemos completar $B$ a una base de $V$.

c) Sea $B$ una base de $W$.
Por el inciso anterior tenemos que podemos completar $B$ para obtener una base de $V$, es decir, $B\cup A$ es base de $V$ con $A\subseteq V$
Si $B\cup A=B$, entonces $dim_KW=|B|=dim_KV$.
Si $B\cup A\not= B$, $dim_KW=|B|\lneq|B\cup A|=dim_KV$
Por lo tanto, $dim_KW\leq\dim_KV$

d) Sup. $dim_KW=\dim_KV=n$
Sea $B$ una base de $W$.
Entonces $B$ es un l.i. en $V$ con $n$ elementos.
Por el corolario anterior tenemos que $B$ es base de $V$.
De donde $B$ es base de $V$.
Y así, $W=\langle B\rangle =V$.
Por lo tanto, $W=V$

Tarea Moral

Más adelante…

Veremos un nuevo concepto: Suma y suma directa de subespacios vectoriales.
¿Qué es? ¿Qué estructura tiene? ¿Dónde vive? ¿Qué relación tiene la suma de dos subespacios con sus uniones?

Entradas relacionadas

1.9. BASE, DIMENSIÓN Y ESPACIO DE DIMENSIÓN (IN)FINITA: definiciones y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

INTRODUCCIÓN

Si tenemos un espacio vectorial $V$ sabemos que suceden dos cosas en los subconjuntos:
1) De todo subconjunto linealmente dependiente (distinto de $\{\theta_V\}$ y $\emptyset$) podemos encontrar un subconjunto propio linealmente dependiente
2) A todo subconjunto de $V$ podemos «aumentarle» elementos de $V$ hasta crear un conjunto generador de $V$.

Para conseguir un conjunto l.i. necesitamos hacer el original «más pequeño» y para conseguir un generador necesitamos hacer el original «más grande».

La cardinalidad de un conjunto que cumpla ambas características se vuelve relevante.
Estudiaremos a continuación un conjunto lo «suficientemente grande» para generar al espacio y lo «suficientemente pequeño» para seguir siendo linealmente independiente.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $B\subseteq V$. Decimos que $B$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Además, decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

  • Sea $K$ un campo.
    La lista de $n$-adas $e_1=(1_K,0_K,0_K,0_K,…,0_K,0_K), e_2=(0_K,1_K,0_K,0_K,…,0_K,0_K),$ $…,e_n=(0_K,0_K,0_K,0_K,…,0_K,1_K)$ es l.i.
    Más aún, $\{ e_1,e_2,…,e_n\}$ es una base de $K^n$.

Justificación. Como $B =\{e_1,e_2,…,e_n\}$ es l.i., sólo falta ver que $\langle B\rangle =K^n$.
Sabemos que $K^n$ es un espacio vectorial y cada $e_i\in K^n$, entonces $\langle B\rangle\subseteq K^n$.
Ahora bien, sea $(x_1,x_2,…,x_n)\in K^n$.
Es claro que $(x_1,x_2,…,x_n)=x_1e_1+x_2e_2+…+x_ne_n\in\langle B\rangle$.
De donde $K^n\subseteq\langle B\rangle$.
$\therefore\langle B\rangle =K^n.$

  • Sea $W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x-y+2z=0\}$ que es un subespacio de $\mathbb{R}^3$.
    Tenemos que $1-1+2(0)=0$ y $-2-0+2(1)=0$, entonces $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$.
    Resulta que $\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ es una base de $W$.

Justificación. Primero veamos que $B =\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ es l.i.
Sean $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda_1(1,1,0)+\lambda_2(-2,0,1)=(0,0,0)$.
Entonces, $(\lambda_1-2\lambda_2,\lambda_1,\lambda_2)=(0,0,0)$.
Inmediatamente se concluye de lo anterior que $\lambda_1=\lambda_2=0$.
$\therefore B$ es l.i.
Como $W$ es un subespacio, entonces $\langle B\rangle\subseteq K^n$.
Ahora bien, sea $(x,y,z)\in W$.
Por definición de $W$ tenemos que $x=y-2z$, y en consecuencia $(x,y,z)=(y-2z,y,z)$.
Es claro que $(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1)\in\langle B\rangle$.
Así, $W\subseteq\langle B\rangle$.
$\therefore\langle B\rangle.$

Proposición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Si $V$ tiene un conjunto generador finito, entonces $V$ tiene una base finita.

Demostración: Sea $S=\{v_1,v_2,…,v_n\}$ un conjunto generador finito de $V$.

Caso 1. $S$ es l.i.
Entonces $S$ es una base finita de $V$.

Caso 2. $S$ es l.d.
Por el lema de dependencia lineal existe $v_{j_1}\in S$ tal que $\langle S\setminus\{v_{j_1}\}\rangle =\langle S\rangle $. Así, podemos definir el siguiente conjunto:
$S_1=S\setminus\{v_{j_1}\}$ donde $j_1\in\{1,2,…,n\}$ y $\langle S\setminus\{v_{j_1}\}\rangle =\langle S\rangle =V.$
Si $S_1$ es l.i., entonces $S_1$ es una base finita de $V$.
Si $S_1$ es l.d., entonces repetimos el proceso. Observemos que de esta forma vamos encontrando $S_1, S_2, \dots$ subconjuntos de $S$ con $n-1,n-2,\dots$ elementos respectivamente, tales que $\langle S_i \rangle =\langle S\rangle =V$ para toda $i=1,2,\dots$. Este proceso es finito ya que $S$ lo es, y termina después de a lo más $n$ pasos. El proceso termina en el momento en que encontramos un $S_t$ con $t\in\{1,\dots ,n\}$ subconjunto de $S$ tal que $S_t$ es l.i., y por la forma en que se construyeron los subconjuntos de $S$ en este proceso se tiene además que $\langle S_t \rangle =\langle S\rangle =V$.
Tenemos entonces que $S_t$ es una base finita de $V$.

Corolario: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. $V$ tiene un conjunto generador finito si y sólo si $V$ es de dimensión finita.

Demostración: $\Rightarrow )$ Se cumple por el teorema anterior y la definición de espacio vectorial de dimensión finita.

$\Leftarrow )$ Por definición de espacio vectorial de dimensión finita, existe una base finita, es decir, un conjunto l.i. generador de cardinalidad finita, en particular esta base es un conjunto generador finito.

Obs. Si un $V$ espacio vectorial es de dimensión finita, entonces todo conjunto l.i. es finito.

Teorema: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración: Por la observación previa tenemos que todas las bases de $V$ son finitas, pues en particular son conjuntos l.i. Veamos que todas tienen la misma cardinalidad.

Sean $B_1$ y $B_2$ bases de $V$, que son finitas por lo antes mencionado.

Por definición de bases tenemos:
a) $B_1$ es l.i., b) $B_1$ es generador de $V$, c) $B_2$ es l.i., d) $B_2$ es generador de $V$.

Recordando la relación entre conjuntos linealmente independientes y conjuntos generadores tenemos que:
a) y d) implican que $|B_1|\leq |B_2|$,
b) y c) implican que $|B_2|\leq |B_1|$.
$\therefore |B_1|=|B_2|.$

A lo largo de esta entrada hemos logrado concluir que, si bien las bases no son únicas, su cardinalidad (en el caso de las finitas) sí es única.

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita. Decimos que la dimensión de $V$ es la cardinalidad de cualquiera de sus bases. Se denota como $dim_K (V)$.

Ejemplos

  • Sea $V=\langle 2-x+5x^2,3-2x^2,7-2x+8x^2\rangle\leq\mathcal{P}_2[\mathbb{R}]$.
    Así, $dim_{\mathbb{R}}(V)=2$.

Justificación. Primero describamos los elementos de $V$ como combinaciones lineales.
Sea $a+bx+cx^2 \in V$. Entonces existen $\lambda,\mu,\nu\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda (2-x+5x^2) + \mu (3-2x^2) + \nu (7-2x+8x^2)=a+bx+cx^2$
Entonces $(2\lambda + 3\mu +7\nu) + (-\lambda – 2\nu)x + (5\lambda – 2\mu + 8\nu)x^2=a+bx+cx^2$. Por lo tanto:
$2\lambda + 3\mu +7\nu=a$,
$-\lambda – 2\nu=b$,
$5\lambda – 2\mu + 8\nu=c$.

Tenemos entonces:

$\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 3 & 7 & a \\ -1 & 0 & -2 & b\\
5 & -2 & 8 & c \end{array} \right)$$~\left( \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -2 & b \\ 0 & 3 & 3 & a+2b\\ 0 & -2 & -2 & c+5b \end{array} \right)$$~\left( \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -2 & b \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3}(a+2b)\\ 0 & 1 & 1 & -\frac{1}{2}(c+5b) \end{array} \right)$$~\left( \begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & -2 & b \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3}(a+2b)\\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2}(c+5b) -\frac{1}{3}(a+2b) \end{array} \right)$

Así, $0=-\frac{1}{2}(c+5b) -\frac{1}{3}(a+2b)$.
Y esto ocurre si y sólo si $0=a+19b+c$.
Por lo tanto, $a=-19b-c$.

$W=\{ a+bx+cx^2 \in \mathcal{P}_2(\mathbb{R})| a=-19b-c \}$$=\{ (-19b-c)+bx+cx^2\in \mathcal{P}_2(\mathbb{R})| b,c\in\mathbb{R} \}$$=\{ b(-19+x)+c(-1+x^2)|b,c\in\mathbb{R} \}$$=\langle -19+x,-1+x^2 \rangle$.

Como $\{ -19+x,-1+x^2 \}$ es linealmente independiente y claramente genera a $W$, entonces es una base de $W$. Por lo tanto, $dim_{\mathbb{R}}(W)=2$.

Tarea Moral

Más adelante…

Partiendo de cualquier espacio vectorial de dimensión finita $V$, veremos cómo obtener bases. Además analizaremos qué relación hay entre: a) la dimensión de $V$ y las dimensiones de sus subespacios y b) la base de $V$ y las bases de sus subespacios.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: El espacio vectorial $\mathbb{R}^n$

Por Eduardo García Caballero

Introducción

En la entrada anterior introdujimos conceptos relacionados a los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$. Hablamos de vectores, combinaciones lineales, espacio generado, independencia lineal y bases. Ahora haremos lo análogo en dimensiones más altas, para lo cual hablaremos de $\mathbb{R}^n$.

La idea es sencilla, queremos extender lo que ya hicimos para vectores con $5$ o $100$ entradas. Sin embargo, visualizar estos espacios y entender su geometría ya no será tan sencillo. Es por esta razón que principalmente nos enfocaremos a generalizar las propiedades algebraicas que hemos discutido. Esta resultará una manera muy poderosa de estudiar los espacios vectoriales, pues nos permitirá generalizar sin mucha dificultad los conceptos aprendidos en la entrada anterior al espacio $\mathbb{R}^n$ para cualquier número natural $n$.

Definición del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$

En la entrada anterior vimos cuáles son propiedades que debe cumplir una colección de objetos, en conjunto con una operación de suma y otra de producto escalar, para poder considerarse un espacio vectorial. Como ya vimos, tanto $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ son espacios vectoriales. Podemos definir a $\mathbb{R}^n$ y a sus operaciones como sigue.

Definición. El conjunto $\mathbb{R}^n$ consiste de todas las $n$-adas ordenadas $u=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ en donde cada $u_i$ es un número real, para $i=1,\ldots,n$. A $u_i$ le llamamos la $i$-ésima entrada de $u$. Para dos elementos de $\mathbb{R}^n$, digamos

\begin{align*}
u&=(u_1,u_2,\ldots,u_n)\\
v&=(v_1,v_2,\ldots,v_n),
\end{align*}

definimos la suma $u+v$ como la $n$-áda cuya $i$-ésima entrada es $u_i+v_i$ (decimos que sumamos entrada a entrada). En símbolos, $$u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n).$$

Además, si tomamos un real $r$, definimos el producto escalar de $r$ con $u$ como la $n$-ada cuya $i$-ésima entrada es $r u_i$, es decir, $ru=(ru_1,ru_2,\ldots,ru_n).$

El conjunto $\mathbb{R}^n$ con esta suma y producto escalar cumple ser un espacio vectorial. A continuación probaremos sólo algunas de las propiedades, ¿puedes completar el resto?

1. La suma es asociativa:
\begin{align*}
(u+v)+w
&= ((u_1,u_2,\ldots,u_n) + (v_1,v_2,\ldots,v_n)) + (w_1,w_2,\ldots,w_n) \\
&= (u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n) + (w_1,w_2,\ldots,w_n) \\
&= ((u_1+v_1)+w_1,(u_2+v_2)+w_2,\ldots,(u_n+v_n)+w_n) \\
&= (u_1+(v_1+w_1),u_2+(v_2+w_2),\ldots,u_n+(v_n+w_n)) \\
&= (u_1,u_2,\ldots,u_n) + (v_1+w_1,v_2+w_2,\ldots,v_n+w_n) \\
&= (u_1,u_2,\ldots,u_n) + ((v_1,v_2,\ldots,v_n) + (w_1,w_2,\ldots,w_n)) \\
&= u + (v+w).
\end{align*}

La cuarta igualdad usa el paso clave de que en $\mathbb{R}$ sí sabemos que la suma es asociativa.

2. La suma es conmutativa:
\[
u+v = v+w.
\]

¡Intenta demostrarlo!

3. Existe un elemento neutro para la suma, que es el elemento de $\mathbb{R}^n$ en donde todas las entradas son iguales al neutro aditivo $0$ de $\mathbb{R}$:
\begin{align*}
u+0
&= (u_1,u_2,\ldots,u_n) + (0,0,\ldots,0) \\
&= (u_1+0,u_2+0,\ldots,u_n+0) \\
&= (u_1,u_2,\ldots,u_n) \\
&= u.
\end{align*}

Para demostrar esta propiedad, necesitaras usar que en $\mathbb{R}$ cada $u_i$ tiene inverso aditivo.

4. Para cada $n$-tupla existe un elemento inverso:
\[
u + (-u) = 0.
\]

5. La suma escalar se distribuye bajo el producto escalar:
\begin{align*}
(r+s)u
&= (r+s)(u_1,u_2,\ldots,u_n) \\
&= ((r+s)u_1,(r+s)u_2,\ldots,(r+s)u_n) \\
&= (ru_1 + su_1, ru_2 + su_2, \ldots, r_n + su_n) \\
&= (ru_1,ru_2,\ldots,ru_n) + (su_1,su_2,\ldots,su_n) \\
&= r(u_1,u_2,\ldots,u_n) + s(u_1,u_2,\ldots,u_n) \\
&= ru + su.
\end{align*}

Una vez más, se está usando una propiedad de $\mathbb{R}$ para concluir una propiedad análoga en $\mathbb{R}^n$. En este caso, se está usando fuertemente que hay una propiedad de distributividad en $\mathbb{R}$.

6. La suma de $n$-tuplas de distribuye bajo el producto de escalares:
\[
r(u+v) = ru + rv.
\]

7. El producto escalar es compatible con el producto de $\mathbb{R}$:
\begin{align*}
(rs)u
&= (rs)(u_1,u_2,\ldots,u_n) \\
&= ((rs)u_1,(rs)u_2,\ldots,(rs)u_n) \\
&= (r(su_1),r(su_2),\ldots,r(su_n)) \\
&= r(su_1, su_2, \ldots, su_n) \\
&= r(s(u_1,u_2,\ldots,u_n)) \\
&= r(su).
\end{align*}

8. El neutro multiplicativo $1$ de $\mathbb{R}$ funciona como neutro para el producto escalar:
\[
1u = u.
\]

De este modo, podemos trabajar con el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ para explorar sus propiedades. La gran ventaja es que lo que demostremos para $\mathbb{R}^n$ en general lo podremos usar para cualquier valor particular de $n$. y poder emplearlas cuando trabajemos con algún número $n$ en particular.

Combinaciones lineales y espacio generado

Al igual que hicimos con $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ podemos definir los conceptos de combinación lineal y espacio generado para el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$.

Definición. En $\mathbb{R}^n$, diremos que un vector $u$ es combinación lineal de los vectores $v_1,\ldots,v_k$ si y sólo si existen números reales $r_1,\ldots,r_n$ en $\mathbb{R}$ tales que
\[
u = r_1v_1 + r_2v_2 + \cdots + r_kv_k.
\]

Ejemplo. En $\mathbb{R}^5$, el vector $(3,4,-2,5,5)$ es combinación lineal de los vectores $(2,1,2,0,3)$, $(0,1,-1,3,0)$ y $(1,-1,5,-2,1)$, pues
\[
(3,4,-2,5,5) = 2(2,1,2,0,3) + 1(0,1,-1,3,0) + -1(1,-1,5,-2,1).
\]

$\triangle$

La noción de combinación lineal nos permite hablar de todas las posibles combinaciones lineales, así como en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.

Definición. Dado un conjunto de vectores $v_1,\ldots,v_n$ en $\mathbb{R}^n$, podemos definir el espacio generado por estos vectores como el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de $v_1,\ldots,v_n$ en $\mathbb{R}^n$.

Es este caso, ya no podremos visualizar geométricamente el espacio generado (aunque con un poco de imaginación, quizás puedas generalizar lo que ya hicimos en dimensiones anteriores: ¿cómo se vería un plano en $\mathbb{R}^4$?, ¿cómo se vería un sub-$\mathbb{R}^3$ de $\mathbb{R}^4$?). De cualquier manera, sí podemos seguir respondiendo preguntas del espacio generado a través de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo. ¿El espacio generado por los vectores $(1,1,1,0)$, $(0,3,1,2)$, $(2,3,1,0)$ y $(1,0,2,1)$ es $\mathbb{R}^4$?

Para ver si $\mathbb{R}^4$ es el espacio generado por los vectores propuestos, debemos asegurarnos de que cada vector en $\mathbb{R}^4$ se pueda expresar como combinación lineal de estos. Entonces, seleccionamos un vector $(a,b,c,d)$ arbitrario en $\mathbb{R}^4$, y debemos ver si existen escalares $q$, $r$, $s$ y $t$ tales que
\[
q(1,1,1,0) + r(0,3,1,2) + s(2,3,1,0) + t(1,0,2,1) = (a,b,c,d);
\]
esto es,
\[
(q,q,q,0) + (0,3r,r,2r) + (2s,3s,s,0) + (t,0,2t,t) = (a,b,c,d),
\]
que equivale a
\[
(q+2s+t, q+3r+3s, q+r+s+2t, 2r+t)=(a,b,c,d),
\]
lo cual a su vez equivale al sistema de ecuaciones
\[
\left\{
\begin{alignedat}{4}
q & +{} & & +{} & 2s & +{} & t & = a \\
q & +{} & 3r & +{} & 3s & & & = b \\
q & +{} & r & +{} & s & +{} & 2t & = c \\
& & 2r & & & +{} & t & = d,
\end{alignedat}
\right.
\]
el cual podemos representar como
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q \\ r \\ s \\ t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c \\ d
\end{pmatrix}.
\]
Además, podemos observar que la matriz en el lado izquierdo tiene determinante distinto de $0$ (para verificar esto, tendrás que calcularlo), lo que nos indica que es invertible, y la igualdad anterior equivale a
\[
\begin{pmatrix}
q \\ r \\ s \\ t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c \\ d
\end{pmatrix},
\]
o bien,
\[
\begin{pmatrix}
q \\ r \\ s \\ t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 3 & -3 \\
-1/2 & 1/4 & 1/4 & 0 \\
3/2 & -1/4 & -5/4 & 1 \\
1 & -1/2 & -1/2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c \\ d
\end{pmatrix},
\]
de donde tenemos la solución para $q,r,s,t$ siguiente:
\[
\left\{
\begin{alignedat}{4}
q & = & -3a & +{} & b & +{} & 3c & -{} & 3d \\
r & = & -\tfrac{1}{2}a & +{} & \tfrac{1}{4}b & +{} & \tfrac{1}{4}c & & \\
s & = & \tfrac{3}{2}a & -{} & \tfrac{1}{4}b & -{} & \tfrac{5}{4}c & +{} & d \\
t & = & a & -{} & \tfrac{1}{2}b & -{} & \tfrac{1}{2}c & +{} & d.
\end{alignedat}
\right.
\]
Este sistema nos da una fórmula para los escalares $q$, $r$, $s$ y $t$ en función del valor de las entradas del vector $(a,b,c,d)$, y estos escalares satisfacen
\[
q(1,1,1,0) + r(0,3,1,2) + s(2,3,1,0) + t(1,0,2,1) = (a,b,c,d).
\]
Como esto se cumple para un vector arbitrario $(a,b,c,d)$ en $\mathbb{R}^4$, entonces se cumple para todos los vectores de $\mathbb{R}^4$; es decir, ¡$\mathbb{R}^4$ es el espacio generado por los vectores $(1,1,1,0)$, $(0,3,1,2)$, $(2,3,1,0)$, $(1,0,2,1)$!

$\triangle$

Nuestra técnica de resolver sistemas de ecuaciones mediante la inversa de la matriz asociada ha resultado muy útil. Hemos tenido un poco de suerte en que la matriz sea invertible. Si no lo fuera, no podríamos haber hecho el procedimiento descrito en el ejemplo. ¿Será que si la matriz no es invertible, entonces el sistema no se podrá resolver? La respuesta es compleja: a veces sí, a veces no. En ese caso hay que entender el sistema de ecuaciones con otro método, como reducción gaussiana.

Independencia lineal

Cuando exploramos las propiedades de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, observamos que hay ocasiones en las que el espacio generado por un conjunto de vectores es «más chico» de lo que se esperaría de la cantidad de vectores: por ejemplo, dos vectores en $\mathbb{R}^2$ generan una línea (y no todo $\mathbb{R}^2$) cuando estos dos se encuentran alineados con el origen. Cuando tres vectores en $\mathbb{R}^3$ no están alineados, pero se encuentran sobre el mismo plano por el origen, su espacio generado es dicho plano (y no todo $\mathbb{R}^3$).

Aunque el el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ no podamos visualizarlo de manera inmediata, podemos mantener la intuición de que un conjunto de vectores «genera todo lo que puede generar» o «genera algo más chico». Para identificar en qué situación nos encontramos, recurrimos a la siguiente definición.

Definición. Dado un conjunto de $k$ vectores $v_1, v_2, \ldots, v_k$ en $\mathbb{R}^n$ distintos de 0, diremos son linealmente independientes si la única forma de escribir al vector 0 como combinación lineal de ellos es cuando todos los coeficientes de la combinación lineal son igual al escalar 0; es decir, si tenemos que
\[
r_1v_1 + r_2v_2 + \cdots + r_kv_k = 0,
\]
entonces forzosamente $r_1 = r_2 = \cdots = r_n = 0$.

Teniendo esta definición en consideración, se puede mostrar que si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces ninguno de los vectores se puede escribir como combinación lineal de los otros. De hecho, es únicamente en este caso cuando cuando el espacio generado por los vectores es «todo lo que se puede generar».

La justificación de por qué sucede esto es similar a la que vimos en la entrada anterior: como el primer vector es no genera una línea. Como el segundo vector no se puede escribir como combinación lineal del primero, entonces queda fuera de esta línea y ambos generan un plano. Como el tercer vector no se puede escribir como combinación lineal de los primeros dos, entonces queda fuera del plano, y entre los tres generan un espacio «más grande» («de dimensión $3$»). A partir de este punto, quizá no podamos visualizar inmediatamente la forma geométrica del espacio generado, pero como sabemos que los vectores son linealmente independientes, entonces el cuarto vector no se puede escribir como combinación lineal de los primeros tres. Por ello, queda fuera del espacio generado por los primeros tres, y el espacio generado por los cuatro es aún «más grande» («de dimensión $4$»); y así sucesivamente, para tantos vectores linealmente independientes como tengamos.

Una herramienta que podemos emplear para determinar cuándo un conjunto de vectores es linealmente independiente son nuevamente los sistemas de ecuaciones. Para esto veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. ¿Son los vectores $(1,5,1,-2)$, $(3,-3,0,-1)$, $(-2,0,4,1)$ y $(0,1,-1,0)$ linealmente independientes en $\mathbb{R}^4$?

Supongamos que para ciertos escalares $a$, $b$, $c$ y $d$, se cumple que
\[
a(1,5,1,-2) + b(3,-3,0,-1) + c(-2,0,4,1) + d(0,1,-1,0) = (0,0,0,0).
\]
Esto es equivalente a decir que
\[
(a,5a,a,-2a) + (3b,-3b,0,-b) + (-2c,0,4c,c) + (0,d,-d,0) = (0,0,0,0)
\]
que equivale a
\[
(a+3b-2c, 5a-3b+d,a+4c-d,-2a-b+c) = (0,0,0,0),
\]
y a su vez equivale al sistema de ecuaciones
\[
\left\{
\begin{alignedat}{4}
a & +{} & 3b & -{} & 2c & & & = 0 \\
5a & -{} & 3b & & & +{} & d & = 0 \\
a & & & +{} & 4c & -{} & d & = 0 \\
-2a & -{} & b & +{} & c & & & = 0
\end{alignedat}
\right.
\]
el cual podemos representar de la forma
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -2 & 0 \\
5 & -3 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 4 & -1 \\
-2 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c \\ d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
\]
y, como notamos que la matriz del lado izquierdo de la ecuación tiene determinante distinto de 0 (¿puedes verificarlo?), entonces es invertible, de modo que
\[
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c \\ d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -2 & 0 \\
5 & -3 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 4 & -1 \\
-2 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
\]
es decir,
\[
a = b = c = d = 0,
\]
lo que nos indica, basándonos en la definición, que los vectores anteriores son linealmente independientes.

$\triangle$

El ejemplo anterior nos da una idea de lo que debe cumplir un conjunto linealmente independiente de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$. En general, podemos mostrar que un conjunto de $n$ vectores $v_1 = (v_{11}, v_{12}, \ldots, v_{1n})$, $v_2 = (v_{21}, v_{22}, \ldots, v_{2n})$, $\ldots$, $v_n = (v_{n1}, v_{n2}, \ldots, v_{nn})$ es linealmente independiente si y sólo si la matriz
\[
\begin{pmatrix}
v_{11} & v_{21} & \cdots & v_{n1} \\
v_{12} & v_{22} & \cdots & v_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
v_{1n} & v_{2n} & \cdots & v_{nn}
\end{pmatrix},
\]
formada por los vectores escritos como columna, es invertible. Esto ya platicamos que está relacionado con que su determinante sea distinto de 0. Pero no en todas las situaciones tendremos tantos vectores como entradas y entonces tendremos que estudiar el sistema de ecuaciones lineales con otras técnicas, como reducción gaussiana.

Ejemplo. ¿Serán los vectores $(1,2,3,4,5)$, $(6,7,8,9,10)$ y $(11,12,13,14,15)$ de $\mathbb{R}^5$ linealmente independientes? Tal y como lo hemos hecho arriba, podemos preguntarnos si hay reales $a,b,c$ tales que $$a(1,2,3,4,5)+b(6,7,8,9,10)+c(11,12,13,14,15)=(0,0,0,0,0),$$ y que no sean todos ellos cero. Tras plantear el sistema como sistema de ecuaciones y luego en forma matricial, lo que se busca es ver si el sistema $\begin{pmatrix} 1 & 6 & 11 \\ 2 & 7 & 12 \\ 3 & 8 & 13 \\ 4 & 9 & 14 \\ 5 & 10 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ tiene alguna solución no trivial. Esto puede entenderse aplicando reducción gaussiana a $A$, que muestra que toda solución al sistema anterior es solución al sistema $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$ lo cual nos lleva a que el sistema original es equivalente al sistema $$\left\{ \begin{array} \,a – c &= 0\\ b + 2c &= 0\end{array}.\right.$$

De aquí, podemos tomar a $c$ como cualquier valor, digamos $1$, de donde $a=1$ y $b=-2$ es solución. En resumen, hemos detectado que $$(1,2,3,4,5)-2(6,7,8,9,10)+(11,12,13,14,15)=(0,0,0,0,0),$$ que es una combinación lineal de los vectores donde no todos los coeficientes son cero. Por ello, no son linealmente intependientes.

Puedes intentar «imaginar» esto como que son vectores en $\mathbb{R}^5$ (un espacio de «dimensión $5$»), pero no generan dentro de él algo de dimensión $3$, sino algo de dimensión menor. Como $(1,2,3,4,5)$ y $(6,7,8,9,10)$ sí son linealmente independientes (¡demuéstralo!), entonces los tres vectores en realidad generan sólo un plano mediante sus combinaciones lineales.

$\square$

Bases

De manera similar a lo que observamos en la entrada anterior, hay ocasiones en las que un conjunto de vectores no tiene como espacio generado a todo $\mathbb{R}^n$. Por otra parte, hay ocasiones en las que el conjunto de vectores sí genera a todo $\mathbb{R}^n$, pero lo hace de manera «redundante», en el sentido de que, aunque su espacio generado sí es todo $\mathbb{R}^n$, podríamos quitar a algún vector del conjunto y el espacio generado sería el mismo. La siguiente definición se enfoca en los conjuntos en los que no pasa mal ninguna de estas cosas. Es decir, los vectores generan exactamente al espacio: cada vector se genera por una y sólo una combinación lineal de ellos.

Definición. Diremos que un conjunto de vectores $v_1, v_2, \ldots, v_k$ es base del esapacio vectorial $\mathbb{R}^n$ si el conjunto de vectores es linealmente independiente y el espacio generado por estos es exactamente $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo. Al igual que en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, la «base canónica» es el primer ejemplo que seguramente se nos viene a la mente. La base canónica en $\mathbb{R}^n$ consiste en los $n$ vectores $\mathrm{e}_1 = (1,0,0,\cdots,0)$, $\mathrm{e}_2 = (0,1,0,\cdots,0)$, $\mathrm{e}_3 = (0,0,1,\ldots,0)$, $\ldots$, $\mathrm{e}_n = (0,0,0,\cdots,1)$. Es claro que cualquier vector $u = (u_1,u_2,\cdots,u_n)$ es combinación lineal de $\mathrm{e}_1,\ldots,\mathrm{e}_n$ pues podemos expresarlo como
\begin{align*}
u
&= (u_1,u_2,\cdots,u_n) \\
&= (u_1,0,\cdots,0) + (0,u_2,\cdots,0) + \cdots (0,0,\cdots,u_n) \\
&= u_1(1,0,\cdots,0) + u_2(0,1,\cdots,0) + \cdots + u_n(0,0,\cdots,1) \\
&= u_1\mathrm{e}_1 + u_2\mathrm{e}_2 + \cdots + u_n\mathrm{e}_n.
\end{align*}
Además, los vectores $\mathrm{e}_1,\ldots,\mathrm{e}_n$ son linealmente independientes (¿puedes ver por qué?). De este modo, verificamos que la «base canónica» es, en efecto, una base.

$\triangle$

Ejemplo. Más arriba verificamos que los vectores $(1,5,1,-2)$, $(3,-3,0,-1)$, $(-2,0,4,1)$ y $(0,1,-1,0)$ son linealmente independientes. Además, vimos que la matriz formada por estos es invertible. De este modo, verificamos que estos vectores forman una base para $\mathbb{R}^4$.

$\triangle$

Más adelante…

A lo largo de esta unidad nos hemos enfocado en estudiar a vectores, matrices, ecuaciones lineales y espacios vectroriales. En las últimas entradas, vimos que hay ocho condiciones que se deben cumplir para que un conjunto de objetos matemáticos (junto con una operación de suma y una de producto escalar) sean considerados espacio vectorial. Todos los ejemplos de espacio vectorial que vimos son de la forma $\mathbb{R}^n$, sin embargo, puede surgir la pregunta, ¿existen espacios vectoriales que no sean de esta forma?

De hecho, si has estado prestando atención en la formalidad de los resultados, hay muchos resultados que han quedado pendientes:

  • ¿Por qué el determinante no depende de la fila o columna en la que se expanda?
  • Si tenemos matrices de $n\times n$, ¿por qué son invertibles si y sólo si el determinate es cero?
  • En matrices de $n\times n$, ¿por qué el determinante es multiplicativo?
  • ¿Cómo se formaliza el proceso de reducción gaussiana y para qué más sirve?
  • ¿Será que podemos tener muchos vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$? ¿Será posible tener un conjunto generador de menos de $n$ vectores para $\mathbb{R}^n$? ¿Por qué?

Estas dudas no se resuelven en el curso de Álgebra Superior 2, que sigue a este. Sin embargo, en el curso de Álgebra Lineal I sí se resuelven varias de estas dudas.

Además, podrás ver que hay otros tipos de objetos matemáticos distintos a las listas ordenadas y que también forman un espacio vectorial; algunos con los cuales ya hemos trabajado, como lo son las matrices, y otros que se comportan de manera muy poco usual, como son los espacios con dimensión infinita. Asimismo, con las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora, podremos aprender nuevos conceptos como transformaciones lineales, eigenvectores y eigenvalores; estos nos permitirán comprender de manera más íntima los espacios vectoriales, y podremos relacionarlos unos con otros.

Tarea moral

  1. Verifica lo siguiente:
    • $(1,1,1,1)$, $(2,2,2,2)$, $(1,1,2,2)$, $(2,2,1,1)$ no es un conjunto linealmente independiente de $\mathbb{R}^4$.
    • $(1,2,3,4)$, $(2,3,4,1)$, $(3,4,1,2)$, $(4,1,2,3)$ es un conjunto generador de $\mathbb{R}^4$.
    • $(1,1,1,1,1),(1,1,1,1,0),(1,1,1,0,0),(1,1,0,0,0),(1,0,0,0,0)$ es una base de $\mathbb{R}^5$.
  2. Demuestra las siguientes dos cosas:
    • Sea $S$ un conjunto generador de $\mathbb{R}^n$ y $T\supseteq S$. Entonces $T$ es conjunto generador de $\mathbb{R}^n$.
    • Sea $T$ un conjunto linealmente independiente de $\mathbb{R}^n$ y $S\subseteq T$. Entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente de $\mathbb{R}^n$.
  3. Sean $v_1,v_2,v_3,\ldots,v_k$ vectores linealmente independientes de $\mathbb{R}^n$. Demuestra que $v_1, v_1+v_2, v_1+v_2+v_3,\ldots,v_1+v_2+v_3+\ldots+v_k$ son también vectores linealmente independientes de $\mathbb{R}^n$. ¿Es esto un si y sólo si?
  4. En vista de lo que hemos platicado para matrices de $2\times 2$, $3\times 3$, $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, ¿cómo definirías el producto matriz-vector $AX$ donde $A$ es una matriz de $m\times n$ y $X$ un vector en $\mathbb{R}^n$?
  5. Demuestra que la definición de base tal y como está en la entrada en efecto permite no sólo escribir a cada vector $v$ del espacio como combinación lineal de los elementos de una base $v_1,\ldots,v_n$, sino que también implica que dicha expresión será única.

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Álgebra Moderna I: Producto directo externo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Esta entrada es el inicio de la última unidad del curso de Álgebra Moderna I, uno de los temas centrales que estudiaremos en esta unidad es el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos. Como es costumbre, para poder sumergirnos en el teorema, primero tenemos que construir algunos cimientos.

Seguramente a lo largo de tu estudio de las matemáticas te has encontrado con la notación $\r^2 = \r \times \r$ y otras similares. $\r^2$ se usa para denotar al plano cartesiano y rápidamente entendemos que sus elementos tienen la forma de pares ordenados $(x, y)$ donde $x,y\in \r$. Esto mismo sucede con potencias mayores, como por ejemplo $(x,y,z)\in \r^3 = \r \times \r \times \r$ y $(x_1,\dots,x_n)\in \r^n = \r\times\cdots\times\r$ ($n$ veces).

De la misma manera, podríamos hacer $\z \times \r$ y obtener objetos de la forma $(z, r)$ donde $z$ es un entero y $r$ un real. Es decir, podemos usar a la operación $\times$ entre dos grupos completamente distintos. Pero más allá de poder, ¿esto es algo que podamos estudiar? En pocas palabras, sí, resulta que la operación $\times$ es una manera práctica de construir grupos más grandes a partir de otros grupos.

Hablemos del producto de grupos

Comencemos definiendo formalmente al producto de grupos.

Definición. Sean $(G_1, *_1), \cdots, (G_n, *_n)$ grupos. El producto directo externo de $G_1, \dots, G_n$ es
\begin{align*}
G_1\times\cdots\times G_n = \{(g_1,\dots,g_n)\;|\; g_i\in G \; \forall i \in \{1,\dots,n\}\}
\end{align*}
con la operación
\begin{align*}
(g_1,\dots,g_n) * (h_1,\dots,h_n) = (g_1*_1h_1, \dots, g_n*_nh_n).
\end{align*}

Observación. $G_1\times\cdots\times G_n$ es un grupo con neutro $(e_{G_1},\dots, e_{G_n})$ y $(g_1^{-1},\dots, g^{-1}_n)$ es el inverso de cada $(g_1,\dots,g_n)\in G_1\times\cdots\times G_n$.

Ejemplo 1. Consideremos $G = S_3\times\z_2 \times D_{2(4)}.$
Un elemento es $((1\;2\;3), \,\bar{1}, \,a^2b)$.
Dados $(\alpha, \bar{a}, f), (\beta,\bar{b}, g)\in G$ se tiene que
\begin{align*}
(\alpha, \,\bar{a}, \,f)*(\beta,\,\bar{b}, \,g) = (\alpha\circ\beta, \,\bar{a}+\bar{b}, \,f\circ g).
\end{align*}

Ejemplo 2. Tomemos el producto $\z_2\times\z_2 = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0},\bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})\}$.
Observemos que $o(\bar{0}, \bar{0}) = 1$, $o(\bar{0}, \bar{1}) = o(\bar{1}, \bar{0}) = o(\bar{1}, \bar{1}) = 2.$
La suma de dos elementos en $\{(\bar{0}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})\}$ nos da el tercero. Entonces, $\z_2\times\z_2$ es isomorfo al grupo de Klein.

Ejemplo 3. Por último, tomemos $\z_2\times\z_3 = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0}, \bar{1}), (\bar{0}, \bar{2}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{2})\}$.
Observemos que $o(\bar{1}, \bar{1}) = 6.$
Tenemos que $\z_2\times\z_3 = \left< (\bar{1}, \bar{1}) \right>$ y así $\z_2\times\z_3 \cong \z_6$.

Dos funciones naturales

Definición. Sean $G_1,\dots, G_n $ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos la inclusión natural
\begin{align*}
\text{inc}_i : G_i\to G \text{ como } \text{inc}_i(g_i) = (e_{G_1},\dots,g_i, \dots, e_{G_n}),
\end{align*}
donde $g_i$ está en la $i$-ésima posición.

Definición. Sean $G_1,\dots, G_n $ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos la proyección natural
\begin{align*}
\pi_i : G\to G_i \text{ con } \pi_i(g_1,\dots,g_n) = g_i.
\end{align*}

Observación 1 . $\text{inc}_i$ es un monomorfismo.

Observación 2 . $\pi_i$ es un epimorfismo.

Notación. $G_i^* = \text{inc}_i\lceil G_i\rceil = \{e_{G_1}\}\times \cdots \times G_i \times\cdots\{e_{G_n}\}.$

Observación 3. Para $G = G_1\times\cdots\times G_n$, los siguientes incisos son ciertos:

  1. $G_i\cong G_i^*$,
  2. $G_i^* \unlhd G$ y
  3. $G/G_i^* \cong G_1\times \cdots \times G_{i-1}\times G_{i+1} \times\cdots G_n.$

Demostración.
$\text{inc}_i$ es un monomorfismo y si restringimos a su imagen $G_i^*$ obtenemos un epimorfismo, dando un isomorfismo de $G_i$ a $G_i^*$.

Ahora $\varphi: G \to G_1\times \cdots \times G_{i-1}\times G_{i+1} \times \cdots \times G_n$ con $\varphi(g_1,\dots, g_n) = (g_1, \dots, g_{i-1}, g_{i+1},\dots, g_n)$ es un epimorfismo y $\text{Núc }\varphi = G_i^*$, probando con ello que $G_i^* \unlhd G$. Además, por el 1er teorema de isomorfía
\begin{align*}
G/G_i^* \cong G_1 \times \cdots \times G_{i-1} \times G_{i+1} \times\cdots G_n.
\end{align*}

$\blacksquare$

Observación 4. Sean $i\neq j$, $x\in G_i^*$, $y\in G_j^*$. Entonces $x*_ny = y*_nx$.

¿Y si ahora recuperamos $G$ a partir de los $G_i^*$?

En la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, definimos el producto de dos subgrupos. Generalicemos esta idea para una cantidad finita de subgrupos:

Definición. Sea $G$ un grupo. Dados $H_1,\dots,H_n$ subgrupos de $G$, el producto de $H_1,\dots, H_n$ es
\begin{align*}
\prod_{i = i}^n H_i = H_1\cdots H_n = \{h_1h_2\cdots h_n\;|\; h_i \in H_i ;\forall i\in \{1,\dots,n\} \}.
\end{align*}

Observemos que para realizar el producto de $h_1h_2\cdots h_n$ sólo usamos la operación del grupo $G$ porque todas las $H_i$ son subgrupos de $G$. Sin embargo, como estudiamos en la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, el conjunto $ H_1\cdots H_n$ no necesariamente es un subgrupo ya que la operación no siempre es cerrada. En la siguiente entrada agregaremos condiciones a los subgrupos $H_i$ para que $ H_1\cdots H_n$ sí sea un subgrupo de $G$.

Relacionemos ahora el producto directo externo con el producto de los subgrupos $G_i^*$ antes definidos:

Proposición. Sean $G_1,\dots, G_n$ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n.$

  1. $G_i^* \unlhd G \quad \forall i\in\{1,\dots,n\}$.
  2. $\displaystyle G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) = \{e_G\} \text{ para toda }i\in\{1,\dots,n\}$.
  3. $\displaystyle G = \prod_{i = 1}^n G_i^*$.

Demostración.
Sean $G_1,\dots, G_n$ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$.

  1. Por la observación 3: $G_i^* \unlhd G$, para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
  2. La contención $\displaystyle \{e_G\} \subseteq G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) $, donde $e_G = (e_{G_1},\dots, e_{G_n})$, es clara. Así que probaremos la otra.
    Sea $\displaystyle g = (g_{1}, \dots, g_n) \in G_i^* \cap \left(\prod_{j\neq i}G_j^*\right)$.
    Como $g\in G_i^* = \{e_{G_1}\}\times\cdots\times G_i\times \cdots \times \{e_{G_n}\}$, entonces la $j$-ésima entrada de $g $ es $g_j = e_{G_j}$ para toda $j\neq i$.
    Como $\displaystyle g \in \prod_{j\neq i} G_j^*$, $g = h_1 \cdots h_{i-1}\,h_{i+1} \cdots h_n$ con $h_j \in G_j^*$ para toda $j\neq i$.
    Dado que cada $h_j \in G_j^*$ y $j\neq i$, la entrada $i$ de cada $h_j$ es $e_{G_i}$, por lo tanto la entrada $i$ de $g$ es $e_{G_i}$.
    Por lo tanto $g = (e_{G_1},\dots, e_{G_n}) = e_G$.
  3. Como $G_i^*\subseteq G$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$, entonces $\displaystyle \prod_{i = 1}^n G_i \subseteq G.$
    Ahora, si $g\in G$,
    \begin{align*}
    g = (g_1,\dots, g_n) = (g_1,e_{G_2},\dots, e_{G_n})(e_{G_1}, g_2,e_{G_3},\dots,e_{G_n}) \cdots (e_{G1},\dots, e_{G_{n-1}}, g_n).
    \end{align*}
    Entonces $\displaystyle g\in \prod_{i = 1}^n G_i^*.$
    Por lo tanto $\displaystyle G = \prod_{i= 1}^n G_i^*$.

$\blacksquare$

Lo anterior muestra que un producto directo externo es un producto de subgrupos normales que cumple el inciso 2 de la proposición.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra las observaciones 1, 2 y 4:
    • $\text{inc}_i$ es un monomorfismo.
    • $\pi_i$ es un epimorfismo.
    • Sean $i\neq j$, $x\in G_i^*$, $y\in G_j^*$. Entonces $x*_ny = y*_nx$.
  2. Sean $G_1, \dots, G_n$ grupos finitos, demuestra que el orden de su producto directo externo es $|G_1||G_2|\dots |G_n|.$
  3. Prueba que el centro de un producto externo es el producto externo de los centros, esto es: $$Z(G_1\times G_2 \times \dots \times G_n) = Z(G_1) \times Z(G_2) \times \dots \times Z(G_n).$$ Deduce que el producto directo externo de grupos abelianos es abeliano.
  4. Sea $G = A_1 \times A_2 \dots \times A_n$ y para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ sea $B_i \unlhd A_i$. Prueba que $B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n \unlhd G$ y que $$(A_1 \times A_2 \dots \times A_n) / (B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n) \cong (A_1/B_1) \times (A_2/B_2) \times \dots \times (A_n/B_n).$$
  5. Sean $A$ y $B$ dos grupos finitos y sea $p$ un primo.
    • Prueba que cualquier $p$-subgrupo de Sylow de $A\times B$ es de la forma $P\times Q$, donde $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $A$ y $Q$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $B$.
    • Prueba que además, la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $A\times B$ es igual a la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $A$ por la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $B$, es decir: $$r_p(A\times B) = r_p(A)r_p(B).$$
    • Generaliza este resultado para el producto directo externo de una cantidad finita de grupos, es decir, para $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ determina que sus $p$-subgrupos de Sylow son el producto directo externo de $p$-subgrupos de Sylow de sus factores.

Más adelante…

La última proposición es prácticamente la conclusión de esta entrada, porque iniciamos definiendo a $G$ como el producto de grupos externos a él y terminamos describiendo a $G$ como producto de subgrupos específicos de él mismo. ¿Habrá alguna manera de generalizar esto, es decir, cuándo un grupo $G$ se podrá expresar como un producto de subgrupos específicos de él mismo? Esta pregunta nos lleva a la definición del producto directo interno que se dará en la siguiente entrada.

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Álgebra Moderna I: Ejemplo de Sylow

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Siendo la última entrada de la Unidad 4, está dedicada a un ejemplo que se justifica usando el Tercer Teorema de Sylow que vimos en la entrada anterior. Por lo mismo, es mucho más corta de lo que estamos acostumbrados, pero es importante para reforzar el conocimiento antes aprendido.

Ilustrando el TTS

Veamos un ejemplo del Tercer Teorema de Sylow.

Ejemplo.

Tomemos $G = S_4$ y veamos la factorización en primos del orden de $G$, $|G| = 24 = 2^3\cdot 3$.

Primero, consideremos al $3$. Notamos que $\left< (1\;2\; 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow ya que tiene $3$ elementos y no podemos encontrar subgrupos de Sylow de $9, 27$ u otra potencia de $3$, porque esta no dividiría al orden de $G$.

Ahora nos preguntamos ¿cuál es la cantidad de $3$-subgrupos de Sylow, denotada por $r_3$? Bueno, por el Tercer Teorema de Sylow sabemos que se cumple:

\begin{align*}
r_3 \,| \, 2^3 \cdot 3 \, \text{ y } \, r_3\equiv 1 \text{(mód }3).
\end{align*}

Como $3 \equiv 0\text{(mód }3)$, entonces $r_3$ no es un múltiplo de $3$, así que $r_3$ tiene que ser un divisor de $2^3 = 8$ congruente con uno módulo $3$, por lo que $r_3 \in \{1, 4\}$.

Pero podemos encontrar $\left< (2\; 3\; 4)\right>$, otro $3$-subgrupo de Sylow diferente al anterior, así que $ r_3 = 4$. Los otros $3$-subgrupos de Sylow son $\left<(1\;3\;4)\right>$ y $\left<(1\;2\;4)\right>$.

Ahora nos fijamos en el primo $2$. Por el TTS, la cantidad de $2$-subgrupos de Sylow ($r_2$) tiene que cumplir,
\begin{align*}
r_2\,| \,2^3 \cdot 3 \, \text{ y } \, r_2\equiv 1 \text{(mód }2).
\end{align*}

La condición del módulo nos indica que $r_2$ es impar, por lo que tiene que ser divisor de $3$ para además se cumpla la primera condición, esto nos deja con $r_2 \in \{1,3\}.$

Busquemos estos $2$-subgrupos de Sylow. Sabemos que cada $2$-subgrupo de Sylow tiene orden igual a la máxima potencia de $2$ que divide a $|G|$, esto es 8. Sabemos que si tenemos un cuadrado y numeramos los vértices, podemos codificar cada simetría del cuadrado con una permutación de $S_4$. Recordemos que no toda permutación de $S_4$ es una simetría, pero sí al revés.

Las simetrías de un cuadrado son $8$ en total y estas simetrías pueden ser generadas por la combinación de una rotación y la reflexión con respecto al eje $x$. Como hay $8$ simetrías del cuadrado y éstas pueden ser codificadas en permutaciones de $S_4$, tendremos un subgrupo de $S_4$ de orden $8$, es decir, un $2$-subgrupo de Sylow.

Supongamos que numeramos los vértices de un cuadrado $1,\,2,\,3,\,4$ como en la imagen, entonces la rotación estará dada por $(1\;2\;3\;4)$ y la reflexión con respecto al eje $x$ sería $(2\;4)$. Así, el $2$-subgrupo de Sylow que obtenemos es $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>$.

Simetrías del cuadrado $1,\,2,\,3,\,4$ usando $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>.$

Estamos buscando todos los $2$-subgrupos de Sylow posibles, como $r_2 \in \{1,3\}$ bien podíamos pensar que $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>$ es el único. Pero podemos nombrar los vértices del cuadrado de manera distinta para que las simetrías de $S_4$ que le correspondan cambien y encontremos otro $2$-subgrupo de Sylow.

Numerando los vértices del cuadrado $2,\,1,\,3,\,4$ como en la imagen, encontramos que la simetrías están generadas por la rotación $(2\;1\;3\;4)$ y la reflexión $(1\;4)$. Así $\left<(2\;1\;3\;4), (1\;4)\right>$ es otro $2$-subgrupo de Sylow.

Si nos damos cuenta, lo único que hicimos en este cuadrado fue intercambiar los vértices $1$ y $2$ del cuadrado. Esto nos da un subgrupo diferente al anterior porque ese cambio no es una simetría del cuadrado.

Simetrías del cuadrado $2,\,1,\,3,\,4$ usando $\left<(2\;1\;3\;4), (1\;4)\right>.$

Pero $r_2 = 1$ o $r_2 = 3$, así que no puede haber sólo dos $2$-subgrupos de Sylow, deben ser $3$. Nos queda entonces otro $2$-subgrupo de Sylow por encontrar. Análogamente, tomamos el cuadrado numerando los vértices $1, \, 3, \, 2, \, 4$, donde sólo intercambiamos los vértices $3$ y $4$ del cuadrado original. En este caso nos encontramos que sus simetrías son generadas por $\left< (1\;3\;2\;4), (3\; 4)\right>$ y este es el último $2$-subgrupo de Sylow que nos faltaba.

Simetrías del cuadrado $1, \, 3, \, 2, \, 4$ usando $\left< (1\;3\;2\;4), (3\; 4)\right>.$

Así, encontramos todos los subgrupos de Sylow de $S_4$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera el grupo de los cuaternios $Q_8$, ¿cuántos y cuáles son sus $2$-subgrupos de Sylow?
  2. Busca los $2$ y $3$-subgrupos de Sylow de $\z_6.$
  3. Sean $a, b \in G : = S_3 \times \z_4$, donde $a = ((1\; 2\; 3), [2])$ y $b = ((1\; 3), [1]).$ Considere el subgrupo $T : = \left< a, b \right> \leq G.$ Prueba que $$T = \left< a,b : a^6 = 1_G, b^2 = a^3 = (ab)^2\right>$$ y que $T$ es un grupo no abeliano con $12$ elementos.
    La notación anterior se lee como $T$ es el generado por los elementos $a$ y $b$ tales que $a^6 = 1_G, \,b^2 = a^3 = (ab)^2$.

Más adelante…

Con esta entrada no sólo concluimos en tema de los Teoremas de Sylow, si no también la unidad 4 del curso. ¡Felicidades! Sigue avanzando, ya casi acabamos.

En la siguiente unidad planeamos estudiar el Teorema Fundamental de los Grupos abelianos finitos. Pero para ello comenzaremos viendo una forma sencilla de construir nuevos grupos a partir de una cantidad finita de grupos previos.

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