Aprovechar la simetría

HeuristicasLa simetría, además de ser una propiedad que hace que las cosas se vean bonitas, también es una buena técnica de resolución de problemas. Hay varias formas en las que se puede aprovechar la simetría en un problema. Una es para reducir esfuerzo: ¿para qué repetir un argumento si es el mismo? ¿para qué desarrollar todos los términos si la ecuación es simétrica?

En  otras ocasiones la simetría nos permite sospechar que los casos especiales tienen que ser simétricos. A veces no hay razón para que sea de otra forma. Finalmente, la simetría también está presente en una gran variedad de la información del problema, y hay que inventarla o descubrirla para simplificar cuentas, notación y conjeturas.

Simetría y desarrollar expresión

Si mueves la mano frente al espejo, se mueven dos manos con el esfuerzo de mover una. Esta misma idea aplica para problemas: cuando hay situaciones que se manejan de manera similar, basta hacer una de ellas y las demás se seguirán por simetría.

Simetría y tablero de 8×8

En los problemas con tableros es útil observar las casillas simétricas en algún sentido. En este problema usamos una simetría con respecto al centro de un tablero de 8×8 llenado con algunos números para determinar si es mayor la suma en los cuadritos negros o en los cuadritos blancos.

Simetría y rectángulo de perímetro fijo

De entre los rectángulos con perímetro fijo, el cuadrado es el que tiene mayor área. En este problema veremos como la simetría nos lleva a la conjetura adecuada y luego cómo podemos poner simetría en la notación para demostrarlo.

Simetría y sucesión aritmética

Al trabajar con una expresión que involucra los términos de una progresión aritmética, puede ser de utilidad aprovechar la simetría alrededor del punto medio. En este video resolvemos un ejemplo en el cual sucede esto.

Simetría y línea de menor longitud

Una forma de obtener una figura simétrica es reflejando otra suficientes veces. Aprovecharemos la desigualdad isoperimétrica para resolver un problema de minimizar un segmento que parte a la mitad el área de un triángulo equilátero.

Si mueves la mano frente al espejo, se mueven dos manos con el esfuerzo de mover una. Esta misma idea aplica para problemas: cuando hay situaciones que se manejan de manera similar, basta hacer una de ellas y las demás se seguirán por simetría.

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