Álgebra Superior II: Teoremas de Fermat y de Wilson

Introducción

En las entradas anteriores hablamos de congruencias, del anillo de enteros módulo n y vimos algunos problemas. La gran ventaja de trabajar en \mathbb{Z}_n, o bien, de trabajar módulo n, es que para n pequeña hay una cantidad pequeña de elementos y entonces las operaciones se vuelven muy sencillas.

Problema. Determina cuál es el residuo obtenido de dividir 705\cdot 702+714\cdot 711 al dividirse entre 7.

Solución. Tenemos que 705, 702, 714 y 711 los podemos poner como un múltiplo de 7 más un residuo como sigue: 700+5, 700+2 y 714=714+0, 711=707+4. Así, 705\equiv 5\pmod 7, 702\equiv 2 \pmod 7, 714\equiv 0 \pmod 7 y 711\equiv 4 \pmod 7. Así, trabajando módulo 7 tenemos que:

    \begin{align*}705\cdot 702+714\cdot 711 \equiv 5\cdot 2 + 0\cdot 4 \equiv 10 + 0 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\end{align*}


De esta forma, 705\cdot 702+714\cdot 711 deja residuo 3 al dividirse entre 7.

\square

Trabajando de esta forma, podemos encontrar el residuo al dividirse por n de expresiones que involucran sumas y productos. El objetivo de esta entrada es entender qué sucede cuando queremos encontrar el residuo de expresiones que tienen potencias y factoriales.

Pequeño teorema de Fermat

Intentemos entender qué sucede con las potencias de un número a en cierto módulo n.

Ejemplo. Imagina que tomamos al número 3 y queremos elevarlo a distintas potencias y entender el residuo que deja al dividirse entre 7. Tenemos, trabajando módulo 7:

    \begin{align*}3^0\equiv 1\\3^1\equiv 3\\3^2\equiv 9 \equiv 2\\3^3=27\equiv 21+6\equiv 6\end{align*}

Nota que podríamos seguir, poniendo 3^4=81. Pero podemos ahorrarnos trabajo pues 3^4\equiv 3\cdot 3^3 \equiv 3 \cdot 6 \equiv 18\equiv 4, en donde usamos que ya sabíamos que 3^3\equiv 6. Del mismo modo, podemos seguir substituyendo cada potencia en la siguiente para obtener

    \begin{align*}3^5\equiv 3\cdot 4\equiv 12\equiv 5\\3^6\equiv 3\cdot 5 = 15\equiv 1\\3^7\equiv 3\cdot 1 = 3\\3^8\equiv 3\cdot 3 = 9 \equiv 2\end{align*}

Podríamos seguir y seguir, pero ya no tiene mucho caso. A partir de aquí es fácil convencerse de que los residuos se ciclan: 1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1\ldots. Notemos que si la potencia es múltiplo de 6, entonces el residuo será 1, es decir, 3^{6k}\equiv 1 \pmod 7. Esto es fantástico, pues entonces si queremos determinar el residuo de dividir, digamos, 3^{605} entre 7, basta ver que módulo 7 tenemos

    \[3^{605}=3^{600}\cdot 3^5 \equiv 1\cdot 5 \equiv 5,\]

en donde estamos usando lo que mencionamos para k=100 y que ya hicimos 3^5 módulo 7.

A partir del ejemplo anterior, nos damos cuenta de que es importante saber cuándo a^m\equiv 1\pmod n, pues en ese momento las potencias «se empiezan a ciclar». El pequeño teorema de Fermat es un resultado que podemos aplicar cuando trabajamos módulo un número primo p. Dice que la potencia p-1 funciona para esto.

Teorema. Si p es un número primo y p no divide a a, entonces p divide a a^{p-1}-1 o, dicho en otras palabras a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.

Demostración. Afirmamos que los números a, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a dejan todos ellos residuos distintos al dividirse entre p y, además, que ninguno de esos residuos es 0. Probemos esto. Tomemos 0<i<j<p-1. En una entrada anterior vimos que [a]_p tiene inverso en Z_p. Sea [b]_p su inverso. Si [ia]_p=[ja]_p, entonces multiplicando por [b]_p de ambos lados tendríamos

    \[[i]_p=[i(ab)]_p=[j(ab)]_p=[j]_p.\]

Pero como i y j están entre 1 y p-1, esto implica que i=j. Ninguno es cero pues si [ia]_p=[0]_p, entonces al multiplicar por b tendríamos la contradicción [i]_p=[i(ab)]_p=[0b]_p=[0]_p. Esto muestra la afirmación.

Así, usando la afirmación en el segundo paso de la siguiente cadena módulo p, tenemos:

    \begin{align*}(p-1)! a^{p-1} &= (a)(2a)(3a)\cdots((p-1)a)\\&\equiv 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (p-1)\\&= (p-1)!.\end{align*}

El número (p-1)! no es divisible entre p, pues es producto de puros números menores que p, de modo que \text{MCD}(p, (p-1)!)=1, así que tiene inverso módulo p, de modo que podemos cancelarlo de la congruencia anterior multiplicando en ambos lados por su inverso. De aquí obtenemos la igualdad que queremos:

    \[a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.\]

\square

Ya que demostramos este teorema, podemos aprovecharlo para resolver problemas que parecen ser difíciles.

Problema. Demuestra que 13 divide a 25^{181}-181^{25}

Solución. Notemos primero que 13 es primo y que no divide ni a 25 ni a 181. Por el pequeño teorema de Fermat, tenemos módulo 13 que 25^{12}\equiv 1 y que 181^{12}\equiv 1. Así, módulo 13 tenemos que

    \[25^{181}\equiv 25^{15\cdot 12}\cdot 25 \equiv 25 \equiv 12,\]

y que

    \[181^{25}\equiv 181^{2\cdot 12}\cdot 181\equiv 181 \equiv 12.\]

De esta forma, 25^{181}-181^{25}\equiv 12-12\equiv 0\pmod {13}, es decir, 13 divide a 25^{181}-181^{25}

\square

Teorema de Wilson

En la demostración del teorema de Fermat aparece la expresión (p-1)!. ¿Qué residuo dejará al dividirse entre p? Hagamos una prueba.

Problema. Encuentra el residuo que se obtiene al dividir 10! entre 11.

Solución. Para no trabajar con números tan grandes, notemos que en

    \[10!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10\]

podemos cambiar a 6,7,8,9,10 por -5, -4, -3, -2, -1 al trabajar módulo 11, así que basta encontrar -(1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)^2 módulo 11. Notemos que 3\cdot 4\equiv 12 \equiv 1 \pmod {11} y que 2\cdot 5 =10 \equiv -1 \pmod {11}. Así,

    \[10!\equiv -(1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)^2 \equiv -(1\cdot 1 \cdot -1)^2 \equiv -1 \equiv 10 \pmod {11},\]

es decir, el residuo que deja 10! al dividirse entre 11 es 10.

\square

El teorema de Wilson ayuda a cuando queremos encontrar el residuo de un factorial al dividirse entre un número primo. Una de las ideas del ejercicio anterior fue buena: nos conviene agrupar a números del factorial en productos sencillos. Lo más conveniente es que agrupemos a cada número con su inverso multiplicativo, pues así obtendremos un 1. Eso lo podemos hacer si el inverso es diferente. La siguiente proposición nos ayuda a entender cuándo pasa esto.

Proposición. Sea p un número primo. Los únicos elementos en \mathbb{Z}_p que son inversos de sí mismos son [1]_p y [p-1]_p.

Demostración. Claramente [1]_p y [p-1]_p=[-1]_p son inversos multiplicativos de sí mismos, pues 1\cdot 1=1=(-1)\cdot(-1). Ahora, si tenemos a tal que a es inverso multiplicativo de sí mismo, tenemos que [a^2]_p\equiv [1]_p, que por definición quiere decir que p divide a a^2-1=(a+1)(a-1). Cuando un primo divide a un producto, tiene que dividir a uno de los factores. Entonces p divide a a+1 o a a-1, y obtenemos, respectivamente, que [a]_p=[-1]_p=[p-1]_p o que [a]_p=[1]_p, como queríamos.

\square

Estamos listos para enunciar y demostrar el teorema de Wilson.

Teorema. Si p es un número primo, entonces p divide a (p-1)!+1 o, dicho en otras palabras, (p-1)!\equiv -1 \pmod p.

Demostración. Si p=2, el resultado es inmediato. Supongamos que p\geq 3. En (p-1)! aparecen todos los números de 1 a p-1. Todos ellos son primos relativos con p, así que tienen inverso módulo p. Ese inverso también aparece en (p-1)!. Así, podemos agrupar esos números en (p-3)/2 parejas de inversos multiplicativos, en donde por la proposición anterior sólo nos va a sobrar el 1 y el -1. De esta forma,

    \[(p-1)!\equiv (1)(-1)(1\cdot 1\cdot \ldots\cdot 1) \equiv -1 \pmod p,\]

en donde en la expresión intermedia tenemos un 1, un -1 y (p-3)/2 unos, uno por cada pareja de inversos que se multiplicaron. Esto termina la prueba.

\square

Veamos una posible aplicación.

Problema. Determina el residuo que se obtiene al dividir 15!+16!+17! entre 17.

Solución. Notemos que 17 divide a 17!, así que 17!\equiv 0 \pmod {17}. Por el teorema de Wilson, 16!\equiv -1 \pmod {17}. Podemos multiplicar esa igualdad por -1 para obtener módulo 17 que

    \[15! = 15! (-1)(-1) \equiv 15! \cdot 16 \cdot (-1) \equiv 16! (-1)\equiv (-1)(-1)\equiv 1.\]

Así, 15!+16!+17!\equiv 1 + (-1) + 0 \equiv 0 \pmod {17}.

\square

Una solución alternativa es darse cuenta de que

    \[15!+16!+17!=15!(1+16)+17\cdot 16!=17\cdot (15!+16!)\]

y por lo tanto es múltiplo de 17. Aunque tengamos herramientas fuertes, ¡siempre hay que recordar los básicos!

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.