Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales en independientes y generadores

Introducción

El objetivo de esta entrada es entender qué le hacen las transformaciones lineales a los conjuntos linealmente independientes, a los conjuntos generadores y a las bases. En la siguiente lista recordamos brevemente estas nociones, pero puedes ver definiciones más formales en las entradas de transformaciones lineales y del Lema de Steinitz.

  • Una transformación lineal T:V\to W entre espacios vectoriales V y W es una función que «abre sumas» (es decir T(x+y)=T(x)+T(y)) y «saca escalares» (es decir T(cx)=cT(x)). Recuerda que es necesario que V y W estén sobre el mismo campo, cosa que asumiremos cuando hablemos de transformaciones lineales.
  • Un conjunto de vectores \{v_1,\ldots, v_n\} en V es linealmente independiente si la única combinación lineal de ellos que da 0 es la trivial, osea en la que todos los coeficientes son 0.
  • Un conjunto de vectores \{v_1,\ldots,v_n\} en V genera a V si cualquier vector de V puede ser escrito como combinación lineal de estos elementos.
  • Un conjunto de vectores en V es base si es linealmente independiente y genera a V.

La idea de esta entrada es entender lo siguiente:

  • ¿Cuándo imagenes de linealmente independientes/generadores/bases son linealmente independientes/generadores/bases?
  • ¿Cómo saber si una transformación lineal es inyectiva?
  • ¿Cómo podemos determinar completamente a una transformación lineal T:V\to W en términos de lo que le hace a una base de V?

Exploración

Tomemos espacios vectoriales V, W y una transformación lineal T:V\to W. Si comenzamos con un conjunto S=\{v_1,\ldots,v_n\} de vectores en V que es linealmente independiente (o generador, o base) en V, ¿cuándo sucede que T(S)=\{T(v_1),\ldots,T(v_n)\} es linealmente independiente (o generador, o base, respectivamente) en W?

Esto definitivamente no sucede siempre. La tranformación Z:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}[x] que manda a todo vector con tres entradas reales al polinomio 0 es una transformación lineal. Sin embargo, a la base canónica \{e_1,e_2,e_3\} la manda al conjunto \{0,0,0\}=\{0\}, que no es un conjunto ni linealmente independiente, ni generador de los polinomios con coeficientes reales.

De esta forma, tenemos que pedirle más a T para que preserve propiedades bonitas.

Intuitivamente, si la imagen de T no cubre a todo W, entonces los vectores de la forma T(v) con v en V no deberían de poder generar a W. Así, para que T mande generadores a generadores, tiene que pasar que «T pase por todo W«. Esta noción queda capturada formalmente al pedir que T sea suprayectiva.

Del mismo modo, también intuitivamente si «T manda elementos distintos al mismo elemento», entonces probablemente perdamos conjuntos linealmente independientes. Así, para preservar conjuntos linealmente independientes, necesitamos que vectores distintos vayan a valores distintos. En términos formales, necesitamos que T sea inyectiva.

Los resultados principales

El primer resultado es que los requisitos que descubrimos intuitivamente en la sección pasada son suficientes.

Teorema. Sea T:V\to W una transformación lineal y S=\{v_1,\ldots,v_n\} un conjunto de vectores de V. Entonces:

  • Si T es inyectiva y S es linealmente independiente, entonces T(S) es linealmente independiente.
  • Si T es suprayectiva y S es generador, entonces T(S) es generador.
  • Si T es biyectiva y S es base, entonces T(S) es base.

Demostración. Comencemos suponiendo que T es inyectiva y S es linealmente independiente. Entonces T(v_1),\ldots,T(v_n) son todos distintos. Tomemos una combinación lineal de elementos de T(S) igual a cero, es decir,

    \[a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\ldots+a_nT(v_n)=0.\]

Como T es transformación lineal,

    \[T(a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n)=0=T(0).\]

Como T es inyectiva, esto implica que

    \[a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n=0,\]

pero como S es linealmente independiente, concluimos que a_1=\ldots=a_n=0. Así, T(S) es linealmente independiente.

Supongamos ahora que T es suprayectiva y S es generador. Tomemos un w\in W. Como T es suprayectiva, existe v\in V tal que T(v)=w y como S es generador, existen a_1,\ldots,a_n tales que

    \[a_1v_1+\ldots+a_nv_n=v.\]

Aplicando T en ambos lados, abriendo las sumas y sacando escalares obtenemos que

    \[a_1T(v_1)+\ldots+a_nT(v_n)=T(v)=w.\]

Así, todo elemento de W se puede escribir como combinación lineal de elementos de T(S), como queríamos.

Finalmente, supongamos que T es biyectiva y S es base. Como T es inyectiva y S linealmente independiente, entonces T(S) es linealmente independiente. Como T es suprayectiva y S generador, entonces T(S) es generador. Así, T(S) es base.

\square

Una consecuencia fudamental del resultado anterior es que si V y W son espacios de dimensión finita y existe una transformación lineal inyectiva T:V\to W, entonces \dim(V)\leq \dim(W). En efecto, si B es base de V y T es inyectiva, entonces T(B) es linealmente independiente en W y sabemos que W tiene a lo más \dim(W) vectores linealmente independientes, así que \dim(V)=|B|=|T(B)|\leq \dim(W). De manera similar, si existe una transformación lineal T:V\to W suprayectiva, entonces \dim(V)\geq \dim(W). Demuestra esto. ¿Qué pasa con las dimensiones si existe una transformación lineal biyectiva entre V y W?

El teorema también sugiere que es importante saber cuándo una transformación lineal es inyectiva, suprayectiva o ambas. Resulta que en el caso de la inyectividad hay un criterio que nos ayuda.

Proposición. Una transformación lineal T es inyectiva y si sólo si el único vector que va a 0 bajo T es el 0.

Demostración. Sean V y W espacios vectoriales y T:V\to W una transformación lineal. Recordemos que sabemos que T(0)=0.

Si T es inyectiva y T(x)=0, entonces T(x)=T(0) y por inyectividad x=0, de modo que x es el único vector que va a 0 bajo T.

Si el único vector que bajo T va a 0 es el 0 y tenemos que T(x)=T(y), entonces usando que T es lineal tenemos que 0=T(y)-T(x)=T(y-x). Así, y-x=0, es decir, x=y. Con esto queda mostrado que T es inyectiva.

\square

Conociendo los valores de una transformación lineal en algunos vectores, es posible determinar el valor de la transformación en otros vectores que son combinación lineal de los primeros. Considera el siguiente ejemplo.

Problema. La transformación lineal T:M_{2,2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2 cumple que T\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}=(1,0), T\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 1\end{pmatrix}=(0,-1), T\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}=(-1,0) y T\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}=(0,1). Determina el valor de T\begin{pmatrix} 3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}.

Intenta resolver el problema por tu cuenta antes de ver la solución. Para ello, intenta poner a la matriz \begin{pmatrix} 3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix} como combinación lineal de las otras matrices y usar que T es lineal.

Solución. Sean A, B, C y D las matrices de las cuales conocemos cuánto vale T en ellas y E la matriz con puros 3‘s. Queremos determinar el valor de T(E). Notemos que E=\frac{3}{2}(A+B+C+D). Como T es transformación lineal, tenemos que

    \begin{align*}T(E)&=\frac{3}{2}(T(A)+T(B)+T(C)+T(D))\\&=\frac{3}{2}((1,0)+(0,-1)+(-1,0)+(0,1))\\&=(0,0).\end{align*}

\square

En este problema lo que sirvió para encontrar el valor de T(E) fue poner a la matriz E como combinación lineal de las matrices A,B,C,D. De hecho, para cualquier matriz que sea combinación lineal de las matrices A,B,C,D, pudiéramos haber hecho lo mismo. En general, saber las imágenes de una transformación lineal en los elementos de una base determina toda la transformación lineal.

Teorema. Sean V, W espacios vectoriales, B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} una base de V y w_1,w_2,\ldots, w_n vectores cualesquiera de W. Entonces, existe una y sólo una transformación lineal T:V\to W tal que

    \[T(v_1)=w_1,\quad T(v_2)=w_2, \quad \ldots,  \quad T(v_n)=w_n.\]

Demostración. Probemos primero la parte de existencia. Como B es base, cualquier vector v de V se puede escribir como

    \[a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n.\]

Construyamos la función T:V\to W tal que

    \[T(v)=a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_nw_n.\]

Como para cada i=1,\ldots,n tenemos que la combinación lineal de v_i en términos de B es v_i=1\cdot v_i, tenemos que T(v_i)=1\cdot w_i=w_i, que es una de las cosas que queremos. La otra que queremos es que T sea lineal. Si

    \[v=a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n\]

y

    \[w=b_1v_1+b_2v_2+\ldots+b_nv_n,\]

entonces

    \[v+w=(a_1+b_1)v_1+ (a_2+b_2)v_2+\ldots+ (a_n+b_n)v_n,\]

y por definición

    \[T(v+w)=(a_1+b_1)w_1+ (a_2+b_2)w_2+\ldots+ (a_n+b_n)w_n.\]

Notemos que el lado derecho es igual a T(v)+T(w), de modo que T abre sumas. De manera similar se puede mostrar que T saca escalares.

Esbocemos ahora la demostración de la unicidad. Supongamos que T y T' son transformaciones lineales de V a W tales que T(v_i)=T'(v_i)=w_i para toda i=1,\ldots,n. Tenemos que mostrar que T(v)=T'(v) para toda v. Para ello procedemos como en el problema antes de este teorema: escribimos a v como combinación lineal de elementos de v. El valor de T(v) depende únicamente de w_1,\ldots,w_n y de la combinación lineal. El de T'(v) también. Por lo tanto son iguales.

\square

Una consecuencia del teorema anterior, en la que no es necesario enunciar a las imágenes de la base, es la siguiente.

Corolario. Sean V y W espacios vectoriales, B una base de V y T y T' transformaciones lineales de V a W. Si T(v)=T'(v) para toda v\in B, entonces T(v)=T'(v) para toda v\in V.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra qué le hace al vector (7,3) una transformación lineal T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} tal que T(2,1)=20 y T(7,2)=5.
  • Determina si las matrices A,B,C,D del problema de la entrada son una base para M_{2,2}(\mathbb{R}). Si no son una base, ¿cuál es la dimensión del subespacio que generan?
  • Muestra que la función construida en el teorema de existencia y unicidad de transformaciones lineales en términos de base, la función que construimos saca escalares.
  • Escribe los detalles de que dicha función es única.
  • Demuestra el corolario enunciado en la entrada.

Puedes dejar dudas de la entrada o soluciones a algunos de esta tarea moral en los comentarios y les echaremos un ojo.

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4 comentarios en “Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales en independientes y generadores

  1. Brashan Chinaski

    Hola, ¿Què tal?
    Primero quisiera agradecerte por esto, muchas gracias por tomarte el tiempo para escribirlo y compartirlo con todos.
    Errata: En el corolario antes de la tarea moral, B tiene que ser una base para T y T`(prima, perdòn, no sè escribir en LaTex), se te paso:
    1. «B y »
    2. Esto es mìnimo pero podrias separar el Teorema de la existencia de la ùnica transformaciòn lineal, solo que se me hace raro ver un teorema despues de un punto y seguido (Perdòn).
    Gracias.

    Responder
  2. Lorena

    Buenas tardes.

    Tengo una duda. En la demostración (consecuencia fudamental del resultado) de que dim(V)<=dim(W), en la parte de:

    dim(V)=|B|=|T(B)|<=dim(W)

    No me queda clara la igualdad |B|=|T(B)|
    Y ¿por qué pasa que |T(B)|<=dim(W) ?

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola Lorena. Sale de lo que vimos en material anterior. Si T es inyectiva, entonces cada elemento de B va a un elemento distinto (por definición de inyectividad), de modo que todos los elementos de $T(B)$ son diferentes, así que son la misma cantidad que los de B. De aquí lo de |B|=|T(B)|. La parte en la que |T(B)|<= dim(W) sale de que como B es base, entonces es linealmente independiente, y como T es inyectiva, entonces T(B) también es linealmente independiente (esto viene en la entrada que habla de transformaciones lineales y linealmente independientes). En un espacio puedes tener a lo más tantos vectores linealmente independientes como la dimensión del espacio. De ahí que |T(B)|<=dim W.

      Responder

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