Álgebra Lineal I: Propiedades de determinantes

Introducción

Para esta entrada enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de los determinantes tanto para transformaciones lineales como para matrices. Estas propiedades de determinantes y en general el concepto de determinante tiene numerosas aplicaciones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo de volúmenes n-dimensionales o el wronskiano en ecuaciones diferenciales, sólo por mencionar algunos, por eso es importante analizar a detalle el determinante de los distintos tipos de matrices y transformaciones lineales que conocemos.

Como recordatorio, veamos qué hemos hecho antes de esta entrada. Primero, transformaciones multilineales. De ellas, nos enfocamos en las que son alternantes y antisimétricas. Definimos el determinante para un conjunto de vectores con respecto a una base, y vimos que, en cierto sentido, son las únicas formas n-lineal alternantes en un espacio vectorial de dimensión n. Gracias a esto, pudimos mostrar que los determinantes para transformaciones lineales están bien definidos, y con ellos motivar la definición de determinante para matrices.

El determinante es homogéneo

La primera de las propiedades de determinantes que enunciaremos tiene que ver con «sacar escalares» del determinante.

Teorema. Sea A una matriz en M_n(F).

  1. Si multiplicamos un renglón o una columna de A por un escalar \lambda, entonces su determinante se multiplica por \lambda.
  2. Se tiene que \det(\lambda A)=\lambda^n A.

Demostración. 1. Sea A_j la matriz obtenida me multiplicar el j-ésimo renglón por \lambda. Siguiendo la definición de determinante vista en la entrada de ayer (determinantes de matrices) vemos que

    \begin{align*}\det A_j&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots \lambda a_{j\sigma(j)}\dots a_{n\sigma(n)}\\&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)\lambda a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\&= \lambda \det A.\end{align*}

La demostración para la j-ésima columna queda como tarea moral.

2. Sea \lamda A=[\lambda a_{ij}], entonces por definición tenemos

    \begin{align*}\det (\lambda A)&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)(\lambda a_{1\sigma(1)})\dots (\lambda a_{n\sigma(n)})\\&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)\lambda^n a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\&=\lambda^n \cdot \det A\end{align*}

De manera alternativa, podemos aplicar el primer inciso n veces, una por cada renglón.

\square

Aquí arriba hicimos la prueba explícita a partir de la definición. Una forma alternativa de proceder es notar que el determinante de una matriz es precisamente el determinante \det (de vectores) con respecto a la base canónica de F^n evaluada en los renglones de A. Al multiplicar uno de los renglones por \lambda, el vector entrada de \det se multiplica por \lambda. El resultado se sigue inmediatamente de que \det es una forma n-lineal.

El determinante es multiplicativo

Quizás de entre las propiedades de determinantes, la más importante es que es multiplicativo. Mostraremos esto a continuación.

Teorema. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y transformaciones lineales T_1:V\to V, T_2:V\to V. Se tiene que

    \[\det(T_1\circ T_2) = \det T_1\cdot \det T_2.\]

Demostración. Sea (v_1,\dots , v_n) una base cualquiera de V. Del resultado visto en la entrada anterior y la definición de determinante, se sigue que

    \begin{align*}\det (T_1 \circ T_2)&= \det _{(v_1,\dots , v_n)}(T_1(T_2(v_1)),\dots , T_1(T_2(v_n)))\\&=\det T_1 \cdot \det_{(v_1,\dots , v_n)}(T_2(v_1), \dots , T_2(v_n))\\&= \det T_1 \cdot \det T_2.\end{align*}

\square

Observa cómo la demostración es prácticamente inmediata, y no tenemos que hacer ningún cálculo explícito en términos de coordenadas. La demostración de que el determinante es multiplicativo para las matrices también es muy limpia.

Teorema. Sean A y B matrices en M_n(F). Se tiene que

    \[\det(AB)=\det A \cdot \det B.\]

Demostración. Sean V=F^n, T_1:V\to V la transformación lineal definida por x\mapsto Ax y similarmente T_2:V\to V la transformación lineal definida por x\mapsto Bx. Sabemos que A, B, AB son las matrices asociadas a T_1, T_2, T_1\circ T_2 con respecto a la base canónica, respectivamente.

Recordemos que para una transformación lineal T en V, \det T = \det A_T, para una matriz que la represente en cualquier base. Entonces

    \begin{align*}\det(AB)&=\det A_{T_1\circ T_2}\\&= \det T_1\circ T_2\\&=\det T_1 \cdot \det T_2\\&=\det A_{T_1} \cdot \det A_{T_2} \\&= \det A \cdot \det B.\end{align*}

\square

Nota que hubiera sido muy complicado demostrar que el determinante es multiplicativo a partir de su definición en términos de permutaciones.

El determinante detecta matrices invertibles

Otra de las propiedades fundamentales del determinante es que nos ayuda a detectar cuándo una matriz es invertible. Esto nos permite agregar una equivalencia más a la lista de equivalencias de matrices invertibles que ya teníamos.

Teorema. Una matriz A en M_n(F) es invertible si y sólo si \det A\neq 0.

Demostración. Supongamos que A es invertible, entonces existe B\in M_n(F) tal que AB=I_n=BA.
Así,

1=\det I_n = \det (AB) = \det A \cdot \det B.

Como el lado izquierdo es 1, ambos factores del lado derecho son distintos de 1. Por lo tanto \det A \neq 0. Nota que además esta parte de la prueba nos dice que \det A^{-1}=(\det A)^{-1}.

Ahora supongamos que \det A \neq 0. Sea (e_1, \dots , e_n) la base canónica de F^n y C_1,\dots , C_n las columnas de A. Como \det_{(e_1,\ldots,e_n)} es una forma lineal alternante, sabemos que si C_1,\ldots,C_n fueran linealmente dependientes, la evaluación daría cero. Ya que la columna C_i es la imagen bajo A de e_i, entonces

\det A =\det _{(e_1,\dots , e_n)}(C_1, \dots , C_n) \neq 0.

Por lo tanto los vectores C_1, \dots , C_n son linealmente independientes y así \text{rank}(A)=n. Se sigue que A es una matriz invertible.

\square

Determinante de transformación y matriz transpuesta

Una cosa que no es totalmente evidente a partir de la definición de determinante para matrices es que el determinante no cambia si transponemos una matriz o una transformación lineal. Esta es la última de las propiedades de determinantes que probaremos ahora.

Teorema. Sea A una matriz en M_n(F). Se tiene que

    \[\det({^tA})=\det A.\]

Demostración. Por definición

\det({^tA})=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n}\text{sign}(\sigma^{-1})a_{\sigma^{-1}(1)1 \dots a_{\sigma^{-1}(n)n}}.

Luego, para cualquier permutación \sigma se tiene

    \[a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n}=a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}\]

pues a_{i\sigma^{-1}(i)}=a_{\sigma(j)j}, donde j=\sigma^{-1}(i).
También vale la pena notar que

    \[\text{sign}(\sigma^{-1})=\text{sign}(\sigma)^{-1}=\text{sign}(\sigma).\]

De lo anterior se sigue que

    \begin{align*}\det({^tA})&=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}\\&=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\&=\det A.\end{align*}

\square

Teorema. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita T:V\to V una transformación lineal. Se tiene que

    \[\det(^t T) = \det T.\]

Demostración. Sea A la matriz asociada a T, entonces ^tA es la matriz asociada a ^tT. Luego

    \[\det (^tT)=\det (^tA)=\det A = \det T.\]

\square

Veamos un ejemplo de un problema en el que podemos aplicar algunas de las propiedades anteriores.

Problema. Sea A\in M_n(F) una matriz antisimétrica para algún n impar. Demuestra que \det(A)=0.

Demostración. Como A=-A^t, entonces \det A = \det (- {^tA}), pero \det A = \det ({^tA}).
Se sigue que

    \begin{align*}\det ({^tA}) &= \det  (-{^tA})\\&=(-1)^n \det ({^tA})\\&=-\det ({^tA}).\end{align*}

Concluimos \det (^tA)=0

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra que al multiplicar una columna de una matriz por \lambda, entonces su determinante se multiplica por \lambda.
  • Demuestra que si una matriz tiene dos columnas iguales, entonces su determinante es igual a cero.
  • Analiza cómo es el determinante de una matriz antisimétrica A\in M_n(F) con n par.
  • Formaliza la frase «el determinante detecta transformaciones invertibles» en un enunciado matemático. Demuéstralo.

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