Álgebra Lineal I: Problemas de formas cuadráticas y producto interior

Introducción

En las últimas sesiones, hemos introducido el tema de formas bilineales y formas cuadráticas. Más adelante, hablamos de positividad de formas cuadráticas y de producto interior. Ahora veremos algunos problemas de formas cuadráticas y producto interior.

Problemas de formas cuadráticas

Sabemos que si T:V\times V\rightarrow \mathbb{R} es una transformación lineal, T no necesariamente es una forma bilineal (durante la clase del viernes se discutió un ejemplo), entonces una pregunta interesante es ¿qué información tenemos sobre el núcleo de una forma cuadrática? Es fácil ver que una forma cuadrática no es una transformación lineal, pero está asociada a una forma bilineal. Interesadas en esta pregunta, analizaremos algunas propiedades del núcleo de una forma bilineal y de una forma cuadrática.

Problema. a) Si q es una forma cuadrática en \mathbb{R}^n, ¿el conjunto \{ x\in \mathbb{R}^n: q(x)=0 \} es un subespacio de \mathbb{R}^n?
b) Describe { x\in \mathbb{R}^n:q(x)=0} si:
1) q(x,y)=x^2+y^2,
2) q(x,y,z)=xy+yz+zx
3) q(x,y,z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2.

Solución. a) La respuesta es: no, el conjunto \{ x\in \mathbb{R}^n: q(x)=0 \} no necesariamente es un subespacio, ya que no necesariamente es cerrado bajo la suma. Daremos un ejemplo.

Sea q:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} definido como q((x,y))=x^2-y^2. Sabemos que ésta es una forma cuadrática. Notemos que para todo x,y \in\mathbb{R}, si v_1=(x,x),v_2=(y,-y), entonces q(v_1)=x^2-x^2=0 y q(v_2)=y^2-(-y)^2=0, entonces v_1,v_2 \in \{ x\in \mathbb{R}^n: q(x)=0 \}. Pero v_1+v_2=(x+y,x-y) no pertenecen al núcleo de q, ya que q(v_1+v_2)=q((x+y,x-y))=(x+y)^2-(x-y)^2=4xy\neq 0 si x,y\neq 0.

b.1) Sea (x,y)\in\mathbb{R}^2 tal que q((x,y))=x^2+y^2=0. Como x,y\in\mathbb{R}, sabemos que la única posibilidad en que la suma de dos cuadrados sea cero es que ambos sean cero, por lo tanto \{ x\in \mathbb{R}^2: q(x)=0 \}=\{(0,0)\}.

b.2) Sea (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tal que q((x,y,z))=xy+yz+zx=0. Si x=0 entonces yz=0, esto es posible sólo si y=0 o z=0. Entonces el núcleo contiene a los ejes (x,0,0), (0,y,0) y (0,0,z). Ahora, si x=-y, entonces xy+yz+zx=-x^2-xz+zx=-x^2=0, por lo tanto x=0=y, obteniendo nuevamente a los ejes. Ahora suponemos que x+y\neq 0. Entonces xy+yz+zx=xy+z(x+y)=0, obteniendo que z=-\frac{xy}{x+y} (el cono elíptico). Por lo tanto el núcleo de q son los ejes y el cono elíptico.

b.3) Sea (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tal que q((x,y,z))=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0. Al igual que en el inciso (b.1), esto sólo es posible si x-y=y-z=z-x=0, entonces x=y=z. Por lo tanto, \{ x\in \mathbb{R}^n: q(x)=0 \}=\{(x,x,x):x\in\mathbb{R}\}.

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Problema. Sea V=P_2(\mathbb{R}) el espacio de polinomios en [-1,1] con coeficientes reales de grado a lo más 2 y considera el mapeo b:V\times V\rightarrow \mathbb{R} definido como

b(f,g)=\int_{-1}^1 tf(t)g(t) dt.

Prueba que b es una forma bilineal simétrica de V. Si q es la forma cuadrática asociada, encuentra las f en V tales que q(f)=0.

Solución. Mostrar que b es bilineal es sencillo, y queda como tarea moral. Es fácil ver que es simétrica, ya que

    \begin{align*} b(f,g)&=\int_{-1}^1 tf(t)g(t) dt \\ &=\int_{-1}^1 tg(t)f(t)dt=b(g,f). \end{align*}

Ahora, queremos encontrar las funciones f tales que q(f)=b(f,f)=\int_{-1}^1 tf^2(t)dt=0. Como f es un polinomio de grado 2, es de la forma f(x)=ax^2+bx+c para reales a,b,c y entonces

    \begin{align*} 0&=q(f)\\&=\int_{-1}^1 tf^2(t)dt \\ &=\int_{-1}^1 t(at^2+bt+c)^2dt \\ & = \int_{-1}^1 t(a^2t^4+2abt^3+(b^2+2ac)t^2+2bct+c^2)dt \\ &=\int_{-1}^1 (a^2t^5+2abt^4+(b^2+2ac)t^3+2bct^2+c^2t)dt \\ &=\frac{4ab}{5}+\frac{4bc}{3}=0 \end{align*}

Esto implica que 4b(3a+5c)=0, entonces b=0 o 3a+5c=0. Por lo tanto

    \[\{f\in V:q(f)=0\}=\{ax^2+c \}\cup \{ax^2+bx-\frac{3a}{5}\}.\]

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Problemas de producto interior

Ahora recordemos que en la clase de ayer, definimos formas bilineales y cuadráticas positivas y definidas positivas, y a partir de ello, definimos qué es un producto interior. Así, en los siguientes problemas, veremos algunos ejemplos de estas definiciones.

Problema. Determina cuáles de las siguientes formas cuadráticas son positivas. ¿Cuáles también son definidas positivas?

  1. q(x,y,z)=xy+yz+zx.
  2. q(x,y,z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2.
  3. q(x,y,z)=x^2-y^2+z^2-xy+2yz-3zx.

Solución. Sea v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3, recordemos que para cada uno de los incisos q es positiva si q(v)\geq 0 para toda v y es definida positiva si es positiva y q(v)=0 si y sólo si v=0.

1) Si escogemos a v como v=(1,-2,1) tenemos que

    \begin{align*}q(v)&=q(1,-2,1)\\&=1(-2)+(-2)(1)+1(1)\\&=-2-2+1\\&=-3.\end{align*}

Por lo tanto no es positiva ni definida positiva.

2) Dado que para todo x,y,z, tenemos que (x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2\geq 0, entonces q(v)\geq 0 para todo v\in\mathbb{R}^3. Pero si q(v)=0, entonces x=y=z, pero no necesariamente son iguales a cero. Por lo tanto, q es positiva pero no es definida positiva.

3) Si tomamos v=(3,0,3), obtenemos que

    \begin{align*}q(v)&=(3)^2+(3)^2-3(3)(3)\\&=9+9-27\\&=-9\\&<0.\end{align*}

Por lo tanto no es positiva ni definida positiva.

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Problema. Sea V=C([a,b],\mathbb{R}). Prueba que el mapeo \langle \cdot , \cdot \rangle definido por

    \[\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx\]

es un producto interior en V.

Solución. Por lo visto en la clase de ayer, tenemos que un producto interior es una forma bilineal simétrica y definida positiva.
Es fácil ver que es forma bilineal simétrica. Basta con probar que es una forma definida positiva. Entonces \langle f,f\rangle=\int_0^1 f^2(x)dx \geq 0 ya que f^2(x)\geq 0 para toda x. Por lo tanto \langle \cdot, \cdot \rangle es positiva. Como f^2 es continua y positiva, si \int_0^1 f^2(x)dx=0, implica que f^2=0, entonces f=0. Por lo tanto, \langle \cdot , \cdot \rangle es definida positiva, y por ende, es un producto interior.

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Para finalizar, el siguiente problema es un ejemplo que pareciera ser producto interior, pero resulta que no serlo.

Problema. Sea C^\infty([0,1],\mathbb{R}) es el espacio de funciones suaves (funciones continuas cuyas derivadas de cualquier orden existen y son continuas). Definimos el espacio V={ f\in C^\infty([0,1],\mathbb{R}): f(0)=f(1)=0 }. Si definimos

    \[\langle f,g \rangle:=\int_0^1 (f(x)g'(x)+f'(x)g(x))dx,\]

¿es \langle \cdot , \cdot \rangle un producto interior en V?

Solución. Es claro ver que \langle \cdot, \cdot \rangle es bilineal y simétrica, entonces falta demostrar si es o no es una forma definida positiva. Para f\in V, tenemos que \langle f,f \rangle=\int_0^1 2f(x)f'(x)dx.

Notemos que, por la regla de la cadena, \frac{d}{dx}f^2(x)=2f(x)f'(x), entonces

    \begin{align*}\langle f,f \rangle&=\int_0^1 \frac{d}{dx} f^2(x) dx\\&=f^2(1)-f^2(0)\\&=0.\end{align*}

Por lo tanto \langle f,f\rangle=0 para toda f. Esto implica que no es definida positiva, y como consecuencia, no es producto interior de V.

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