Álgebra Lineal I: Problemas de dualidad y base dual

Introducción

El día de hoy, comenzaremos a resolver problemas sobre un nuevo tema: espacio dual. La parte teórica ya la hemos cubierto en entradas anteriores. En la entrada de introducción a dualidad definimos el espacio dual y las formas coordenadas. Después, en una siguiente entrada, de bases duales vimos que las formas coordenadas son una base del espacio dual, hablamos de ciertos problemas prácticos para resolver, y vimos un teorema que relaciona bases, bases duales y una matriz invertible. Ahora veremos aplicaciones de la teoría desarrollada y la usaremos para resolver problemas de dualidad prácticos.

Problemas prácticos resueltos

Uno de los problemas de dualidad que discutimos la ocasión anterior es expresar a una base dual de vectores en V en términos de la base dual de la base canónica. Veamos un ejemplo de esto.

Problema 1. Sean v_1,v_2,v_3,v_4 los vectores en \mathbb{R}^4 definidos como

    \[v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}.\]

Demuestra que V:=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} es una base de \mathbb{R}^4 y encuentra la base dual de V en términos de e_i^\ast, donde e_i^\ast es la base dual de la base canónica de \mathbb{R}^4.

Solución. Dado que V está conformado por cuatro vectores y la dimensión de \mathbb{R}^4 es 4, basta con probar que son vectores linealmente independientes. Hay dos maneras de hacerlo.

Manera 1: Sean a,b,c,d \in \mathbb{R} tales que 0=av_1+bv_2+cv_3+dv_4. Esto da cuatro ecuaciones

    \begin{align*}0&=a+b+d\\0&=a+2b\\0&=a+3b+c\\0&=a+4b+2c+5d.\end{align*}

De la segunda obtenemos que a=-2b, sustituyendo en la primera y en la segunda d=2b-b=b, c=2b-3b=-b, y sustituyendo ésto en la cuarta, tenemos que 0=-2b+4b-2b+5b=5b. Por lo tanto a=b=c=d=0, implicando que los vectores en V son linealmente independientes, y por consiguiente forman una base de \mathbb{R}^4.

Manera 2: Hacer la reducción gaussiana en la matriz (A|I) donde A es la matriz cuyas columnas son los vectores de V. Entonces

    \[\left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

    \[\longrightarrow \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

    \[\longrightarrow  \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 7 & 2 & -3 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

    \[\longrightarrow  \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -7/5 & 4/5 & -2/5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 6/5 & -2/5 & 1/5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -11/5 & 7/5 & -1/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1/5 & -2/5 & 1/5 \end{array} \right)\]


Como podemos reducir a la identidad, los vectores iniciales son linealmente independientes y forman una base. Más aún, ya obtuvimos la inversa de A.

Ahora para obtener la base dual V^:=\{v_1^\ast,v_2^\ast,v_3^\ast,v_4^\ast\} de la base V, por lo visto en la última clase, podemos escribir V^\ast como combinación lineal de e_i^\ast, donde los coeficientes son las columnas de B:=^t(A^{-1}). Esta matriz es

    \[\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 \\ -7/5 & 6/5 & -11/5 & 1/5 \\ 4/5 & -2/5 & 7/5 & -2/5 \\ -2/5 & 1/5 & -1/5 & 1/5 \end{pmatrix}.\]

Por lo tanto,

    \[v_1^* = 2e_1^* -\frac{7}{5} e_2^* +\frac{4}{5} e_3^* -\frac{2}{5}e_4^*\]

    \[v_2^* = -e_1^* +\frac{6}{5} e_2^* -\frac{2}{5} e_3^* +\frac{1}{5}e_4^*\]

    \[v_3^* = e_1^* -\frac{11}{5} e_2^* +\frac{7}{5} e_3^* -\frac{1}{5}e_4^*\]

    \[v_4^* = \frac{1}{5} e_2^* -\frac{2}{5} e_3^* +\frac{1}{5}e_4^*\]

\square

Otro tipo de problemas de dualidad consisten en determinar algunos vectores en V cuya base dual sea una base dada de V^\ast.

Problema 2. Considera las siguientes formas lineales en \mathbb{R}^3:

    \begin{align*}l_1(x,y,z)&=x-y, \\l_2(x,y,z)&=y-z, \\l_3(x,y,z)&=x+y-z.\end{align*}

  1. Prueba que l_1,l_2,l_3 forman una base del dual de \mathbb{R}^3.
  2. Encuentra una base de \mathbb{R}^3 cuya base dual es l_1,l_2,l_3.

Solución. (1) Por el último teorema de la entrada de bases duales, sabemos que l_1,l_2,l_3 forman una base si la matriz A=[l_i(e_j)] es invertible, donde e_j es la base canónica de \mathbb{R}^3.

Para mostrar que A es invertible, calcularemos la forma escalonada reducida de la matríz (A|I). Entonces,

    \begin{align*}&\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\\longrightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \longrightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{array} \right) \\ \longrightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{array} \right)\end{align*}

Con esto concluimos que A es invertible, y por lo tanto l_1,l_2,l_3 forman una base del dual de \mathbb{R}^3.

(2) En el inciso anterior, calculamos la inversa de A, obteniendo

    \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.\]


Recordemos que la base v_1,v_2,v_3 de \mathbb{R}^3 está determinada por las columnas de B=A^{-1}, entonces

    \[v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_2=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

\square

Veamos otro ejemplo, el que veremos formas lineales un poco más interesantes, relacionadas con cálculo.

Problema 3. Sea V=\mathbb{C}_2[X] el espacio vectorial de polinomios de grado a lo más 2 con coeficientes complejos, y para cada P\in V definimos

    \begin{align*}l_1(P)&=P(0), \\ l_2(P)&=\int_0^1 P(x) dx, \\ l_3(P)&=\int_0^1 P(x)e^{-2\pi ix}dx.\end{align*}

  1. Prueba que l_1,l_2,l_3 pertenecen a V^*. Más aún, forman una base de V^*.
  2. Encuentra una base v_1,v_2,v_3 de V cuya base dual es l_1,l_2,l_3.

Solución. (1) No es difícil ver que son formas lineales, ya que l_1(P+Q)=P(0)+Q(0)=l_1(P)+l_1(Q), l_1(aP)=aP(0)=al_1(P) y l_2,l_3 son lineales por las propiedades de la integral.

Para probar que son base de V^*, lo haremos de manera similar al problema anterior. Sabemos que 1,x,x^2 forman la base canónica de V, entonces L:=\{l_1,l_2,l_3\} es una base de V^* si la matriz A=[l_i(e_j)] es invertible. Calculando

    \[l_1(1)=1, \  l_1(x)=l_1(x^2)=0,\]

    \[l_2(1)=1, \  l_2(x)=\int_0^1 xdx=\frac{1}{2},\]

    \[l_2(x^2)=\int_0^1 x^2 dx=\frac{1}{3},\]

    \[l_3(1)=\int_0^1 e^{-2\pi i x}dx=0, \ l_3(x)=\int_0^1 xe^{-2\pi i x}dx=\frac{i}{2\pi},\]

    \[l_3(x^2)=\int_0^1 x^2e^{-2\pi i x}dx=\frac{1+i\pi}{2\pi^2}.\]


(Para calcular l_3(x),l_3(x^2) se usa integración por partes). Entonces la matriz es

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1/3 \\ 0 & \frac{i}{2\pi} & \frac{1+i\pi}{2\pi^2}  \end{pmatrix}.\]

Ahora, reduciremos la matriz (A|I) para «matar dos pájaros en un sólo tiro»: probar que A es invertible y, al mismo tiempo, encontrar A^{-1}. Tenemos que

    \begin{align*}&\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1/3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{i}{2\pi} & \frac{1+i\pi}{2\pi^2} & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\\\longrightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & i\pi & 1+i\pi & 0 & 0 & 2\pi^2 \end{array} \right)\\\longrightarrow & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & -6 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1+i\pi}{i\pi} & 0 & 0 & -2i\pi  \end{array} \right)\\\longrightarrow &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-6-6\pi i}{3+\pi i} & \frac{6+6\pi i}{3+\pi i} & \frac{-4\pi^2}{3+\pi i} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{6\pi i}{3+\pi i} & \frac{-6\pi i}{3+\pi i} & \frac{6\pi^2}{3+\pi i} \end{array} \right)\end{align*}

Por lo tanto A es invertible, implicando que L es una base de V^*.

(2) Ya calculada en el inciso anterior, tenemos que

    \[A^{-1}=\frac{1}{3+\pi i} \begin{pmatrix} 3+\pi i & 0 & 0 \\ -6-6\pi i & 6+6\pi i & -4\pi^2 \\ 6\pi i & -6 \pi i & 6\pi^2 \end{pmatrix}.\]

De esta matriz leemos a las coordenadas de la base que estamos buscando en términos de la la base canónica \{1,x,x^2\}. Los renglones son los vectores de coordenadas. Por lo tanto, la base de V tal que L es la base dual es:

    \begin{align*}v_1&= \frac{1}{3+\pi i} \left(3+\pi i\right) \\v_2&= \frac{1}{3+\pi i} \left( -6-6\pi i+(6+6\pi i)x-4\pi^2x^2 \right) \\v_3&= \frac{1}{3+\pi i} \left( 6\pi i-6\pi ix+6\pi^2x^2  \right). \end{align*}

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Fórmula de interpolación de Lagrange

La teoría de dualidad tiene amplias aplicaciones. Con ella se puede probar un resultado clásico: podemos construir un polinomio de grado n que pase por n+1 puntos que nosotros queramos. En el siguiente ejercicio vemos los detalles.

Problema 4. (Interpolación de Lagrange) Sea V=\mathbb{R}_n[X] el espacio vectorial de polinomios de grado a lo más n con coeficientes reales. Sean x_0,\dots,x_n números reales distintos. Para 0\leq i \leq n definimos

    \[L_i(x)=\prod_{0\leq j\leq n, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.\]

  1. Demuestra que L_i(x_j)=\delta_{ij} para todo 1\leq i,j \leq n, donde \delta_{ij} es igual a 1 si i=j y es igual a 0 si i\neq j.
  2. Prueba que L_0,\dots,L_n forman una base de V.
  3. Encuentra la base dual de L_0,\dots,L_n.
  4. Prueba la Fórmula de Interpolación de Lagrange: para todo P\in V tenemos que

        \[P=\sum_{i=0}^n P(x_i)L_i.\]

  5. Demuestra que para cualquiera b_0,\dots,b_n \in\mathbb{R}, podemos encontrar un único polinomio P\in V tal que P(x_i)=b_i para todo 0\leq i \leq n. Este polinomio P es llamado el polinomio de interpolación de Lagrange asociado a b_0,\dots,b_n.

Solución. (1) Si j\neq i, entonces

    \[L_i(x_j)=\frac{x_j-x_j}{x_i-x_j}\cdot\prod_{k\neq j,i} \frac{x_j-x_k}{x_i-x_k}=0.\]

Por otro lado si i=j,

    \[L_i(x_j)=L_i(x_i)=\prod_{k\neq i} \frac{x_i-x_k}{x_i-x_k} =1 .\]

(2) Dado que dim(V)=n+1, cuya base canónica es 1,x,\ldots,x^n y L_0,\dots,L_n son n+1 vectores, para probar que son base, basta con demostrar que son linealmente independientes. Sean a_0,\dots,a_n tales que a_0L_0+\dots+a_nL_n=0. Evaluando en x_i y usando el inciso anterior, tenemos que

    \[0=\sum_{j=0}^n a_jL_j(x_i)=\sum_{j=0}^n a_j\delta_{ij}=a_i,\]

pero esto pasa cualquier 0\leq i \leq n. Por lo tanto L_0,\dots,L_n son linealmente independientes, y por consiguiente, son base de V.

(3) Por definición de la base dual L_i^*(L_j)=\delta_{ij}, y por el inciso (a) tenemos que L_j(x_i)=\delta_{ij}, entonces L_i^*(L_j)=L_j(x_i), para toda i,j. Ahora, fijamos i. Dado que L_0,\dots, L_n forman una base de V y dado que L_i^* es lineal, para toda P\in V, con P(x)=a_0L_0+a_1L_1+\ldots+a_nL_n, tenemos que

    \begin{align*}L_i^*(P)&=a_0L_i^*L_0)+\ldots+a_nL_i^\ast(L_n)\\&=a_0L_0(x_i)+\ldots+a_nL_n(x_i)\\&=P(x_i).\end{align}


Por lo tanto la base dual es L_i^*=\text{ev}_{x_i}.

(4) Sabemos que la base dual satisface que

    \[P=\sum_{i=0}^n \langle L_i^*,P \rangle L_i.\]

Pero por el inciso anterior, \langle L_i^*,P\rangle =L_i^*(P)=P(x_i), entonces P=\sum_i P(x_i)L_i.

(5) Definimos P=\sum_{i=0}^n b_iL_i. Por el inciso (1), tenemos que

    \[P(x_j)=\sum_i b_iL_i(x_j)=\sum_i b_i\delta_{ij}=b_j.\]

Entonces el polinomio existe. Falta probar la unicidad.

Suponemos que existe Q\in V tal que Q(x_i)=b_i para todo i. Notemos que P-Q es un polinomio de grado a lo más n (por definición) y (P-Q)(x_i)=0 para todo i, esto implica que P-Q tiene n+1 raíces distintas, lo cual es imposible si P-Q \neq 0, por lo tanto, P-Q=0, es decir P=Q.

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Observemos que este problema también se satisface para los polinomios con coeficientes complejos, V=\mathbb{C}_n[X].

Expresar integral como suma de evaluaciones

Terminamos esta entrada con el siguiente problema. El enunciado no menciona dualidad, pero podemos usar la teoría desarrollada hasta ahora para resolverlo.

Problema 5. Sean x_0,x_1,x_2\in [0,1], y sea V=\mathbb{R}_2[X]. Definimos el mapeo

    \[l(P)=\int_0^1 P(x)e^{-x} dx.\]

Demuestra que l es una forma lineal en V y prueba que existe una única tercia (a_0,a_1,a_2) de números reales tales que

    \[\int_0^1 P(x)e^{-x}dx=\sum_{i=0}^2 a_iP(x_i).\]

Solución. Debido a las propiedades de la integral, es fácil ver que l es lineal, ya que

    \begin{align*}l(aP+Q)&=\int_0^1 (aP(x)+Q(x))e^{-x} dx \\&= a\int_0^1 P(x)e^{-x}dx+\int_0^1 Q(x)e^{-x}dx \\&=al(P)+l(Q).\end{align*}

Usando el problema anterior, tenemos que L_0^*=\text{ev}_{x_0}, L_1^*=\text{ev}_{x_1} y L_2^*=\text{ev}_{x_2} forman una base de V^. Por lo tanto existen (a_0,a_1,a_2) tales que l=a_0L_0^*+a_1L_1^*+a_2L_2^*. Entonces

    \begin{align*}     \int_0^1 P(x)e^{-x}&=l(P)=\sum_{i=0}^2 a_iL_i^*(P) \\     &= \sum_{i=0}^2 a_iP(x_i). \end{align*}

Es fácil ver que es única esa tercia, ya que, si existiera otra (b_0,b_1,b_2) tal que

    \[l=b_0L_0^*+b_1L_1^*+b_2L_2^*,\]

esto implica que

    \[0=(a_0-b_0)L_0^*+(a_1-b_1)L_1^*+(a_2-b_2)L_2^*,\]

y dado que L_i^* son una base, tendríamos a_i=b_i.

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2 comentarios en “Álgebra Lineal I: Problemas de dualidad y base dual

  1. Lorena

    Hola, Leo.

    En el problema 1, cuando mencionas que: Dado que V está conformado por cuatro vectores y la dimensión de R^4 es 4, basta con probar que son vectores linealmente independientes.

    Puedo entender de manera intuitiva esa afirmación, pero no logró ver cómo justificarla. ¿Hay alguna proposición/teorema o de la misma definición de base o generador sale la justificación?

    Responder

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